[論文レビュー] Row-strict Quasisymmetric Schur Functions, Characterizations of Demazure Atoms, and Permuted Basement Nonsymmetric Macdonald Polynomials

Jeffrey Paul Ferreira|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

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ひとこと要約

本稿では、行厳密な組み合わせテーブルックスへの挿入アルゴリズムを用いて、行厳密なクasi-symmetric Schur関数と対称Schur関数の積に対するLittlewood-Richardson規則を導入する。また、組成アレイパターンとLakshmibai-Seshadriパスを用いたデマブル原子の2つの新しい特徴付けが与えられ、置換された基底をもつ非対称Macdonald多項式が二重アフィンヘッケ代数における可換な作用素族の同時固有関数であることが証明される。

ABSTRACT

We give a Littlewood-Richardson type rule for expanding the product of a row-strict quasisymmetric Schur function and a symmetric Schur function in terms of row-strict quasisymmetric Schur functions. We then discuss a family of polynomials called Demazure atoms. We review the known characterizations of these polynomials and then present two new characterizations. Finally, we consider a family of polynomials called permuted basement nonsymmetric Macdonald polynomials which are obtained by permuting the basement of the combinatorial formula of Haglund, Haiman, and Loehr for nonsymmetric Macdonald polynomials. We show that these permuted basement nonsymmetric Macdonald polynomials are the simultaneous eigenfunctions of a family of commuting operators in the double affine Hecke algebra.

研究の動機と目的

• 行厳密なクasi-symmetric Schur関数と対称Schur関数の積に対するLittlewood-Richardson型規則の構築。
• 組成アレイパターンとLakshmibai-Seshadriパスを用いたデマブル原子の新しい組合せ的特徴付けの提供。
• 置換された基底をもつ非対称Macdonald多項式が、二重アフィンヘッケ代数における可換作用素族の同時固有関数であることを確立すること。
• 定数項がゼロである対称関数によって生成されるイデアルによるクasi-symmetric関数の商の基底の構成。
• 基底の置換と挿入アルゴリズムを通じて、非対称Macdonald多項式の組合せ的理解を拡張すること。

提案手法

• MasonとRemmelが定義した、行厳密な組成テーブルックスへの整数の挿入アルゴリズムを用い、その主なバンピング性質と基本的変換を確立する。
• 組成アレイパターンを導入し、非負整数からなる三角形配列として定義し、組成テーブルックスの半標準的増分フィリングと一対一対応づける。
• 最初の行がγである組成アレイパターンと、γを弱く非増加に並べた分割λを最初の行にもつGelfand-Tsetlinパターンとの間の双対写像を確立する。
• 除法差分作用素とキーフィールドを用いてデマブル原子を特徴付け、それらを対称群とヘッケ代数の構造と関連付ける。
• Haglund, Haiman, Loehrによる非対称Macdonald多項式の組合せ的公式を用い、基底を置換することで新しい多項式族を定義する。
• 作用素$Y_i^\tau$に対する固有関数性を証明する。その際、二重アフィンヘッケ代数の関係と$T_j$および$\pi$生成子の性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行厳密なクasi-symmetric Schur関数と対称Schur関数の積を、行厳密なクasi-symmetric Schur関数の基底で展開する方法は何か？
• RQ2 キーフィールドや除法差分を除いた、デマブル原子の新しい組合せ的特徴付けは何か？
• RQ3 組成アレイパターンは半標準的増分フィリングおよびGelfand-Tsetlinパターンとどのように関係するか？
• RQ4 置換された基底をもつ非対称Macdonald多項式の二重アフィンヘッケ代数における代数的構造は何か？
• RQ5 置換された基底をもつ非対称Macdonald多項式は、可換作用素族の同時固有関数であるか？

主な発見

• 挿入アルゴリズムの性質に基づき、行厳密なクasi-symmetric Schur関数と対称Schur関数の積に対するLittlewood-Richardson型規則が確立された。
• 半標準的増分フィリングと組成アレイパターンとの間の双対写像を用いて、デマブル原子が新しい組合せ的モデルとして特徴付けられた。
• デマブル原子の第二の特徴付けとして、指定された方向から出発するすべてのLakshmibai-Seshadriパスの重みの和として与えられた。
• 定数項がゼロである対称関数によって生成されるイデアルによるクasi-symmetric関数の商の基底が構成された。
• 置換された基底をもつ非対称Macdonald多項式が、作用素$Y_i^\tau$の同時固有関数であることが示され、固有値は基礎となる組成と置換のパラメータによって決定される。
• 証明は、$Y_i^\tau = T_\tau Y_{\tau^{-1}(i)} T_\tau^{-1}$を満たすことを確認し、これらの作用素が多項式$E_{\gamma,\tau}$にスカラーとして作用することを示すことで成り立つ。これにより、固有関数性が裏付けられる。