[論文レビュー] Rozansky-Witten invariants via Atiyah classes

Mikhail Kapranov|ArXiv.org|Apr 13, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 43

ひとこと要約

この論文は、接バンドルのアティヤ類を用いて、ハイパーカラーマニフォールドのロザンスキー＝ウィットン不変量を再定式化し、これらの不変量がホモトピー的リー代数に従うコhomological 操作から生じることを示している。主な貢献は、任意のケーラー計量（ハイパーカラーメトリックでない場合を含む）に対して有効な、$ c_{\rm \Gamma}(X) $ 不変量のコhomological 述語による記述の確立であり、これにより、完全なハイパーカラーモルフォールド構造を必要とせずに明示的な計算が可能になる。

ABSTRACT

Recently, L.Rozansky and E.Witten (hep-th/9612216) associated to any hyperKaehler manifold X a system of "weights" (numbers, one for each trivalent graph) and used them to construct invariants of topological 3-manifolds. We give a very simple cohomological definition of these weights in terms of the Atiyah class of X (the obstruction to existence of a holomorphic connection). We show that the analogy between the tensor of curvature of a hyperKaehler metric and the tensor of structure constants of a Lie algebra observed by Rozansky and Witten, holds in fact for any complex manifold, if we work on the level of cohomology and for any Kaehler manifold, if we work on the level of Dolbeault forms. In particular, for any sheaf A of commutative algebras on any complex manifold the shifted cohomology of the tangent sheaf tensored with A is a graded Lie algebra. We also show that a certain system of Gilkey-type complexes of "natural tensors" on Kaehler manifolds is, up to suspension (accounting for various changes of signs), identified with the PROP (in the sense of Adams and MacLane) describing Lie algebras "up to higher homotopies". As an outcome of our considerations, we give a formula for the Rozansky-Witten classes using any Kaehler metric on a holomorphic symplectic manifold.

研究の動機と目的

• ハイパーカラーマニフォールドのロザンスキー＝ウィットン不変量 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ を、曲率の代わりにアティヤ類を用いたコhomological 再定式化を提供すること。
• 不変量 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ が、ハイパーカラーメトリックに依存しない接バンドルのアティヤ類から計算可能であることを示すこと。
• アティヤ類と、$ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 上の階数付きリー代数構造におけるジャンビ・アイデンティティとの関係を確立し、オペラッドを介して弱いリー代数へ一般化すること。
• 非シンプレクティックな場合を修正することで、特許的シンプレクティックマニフォールドへの形式的枠組みの拡張を行い、元のロザンスキー＝ウィットン構成を回復すること。
• 構成をゲルファンド＝フクスコhomology および形式的幾何学と結びつけ、形式的指数写像の空間上のタウトロジカル形式を用いること。

提案手法

• 曲率の代わりに、$ c_{\rm \Gamma}(X) $ の構成におけるコhomological な置換として、アティヤ類 $ \alpha_E \in H^1(X, \Omega^1 \otimes \mathrm{End}(E)) $ を用いる。
• 接バンドルのアティヤ類は、任意の $ \mathcal{O}_X $-代数の連接層 $ A $ に対して、$ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 上に階数付きリー代数構造を誘導する。
• ケーラー多様体上のドルベオール形式を用いて、アティヤ類のジャンビ・アイデンティティを解明し、ホモトピー的リー代数構造を導出する。
• リー代数のシェヴァレリー＝アイレンベルク複体は、対角の形式的近傍上の関数層に同一視されることで置き換えられる。
• 形式的幾何学の枠組みを用い、ドルベオール形式を形式的指数写像の空間上の相対形式に置き換え、タウトロジカル形式 $ \bar{\alpha}_n $ を得る。
• 曲率テンソル $ R_n $ にシンプレクティック制約を課すことで、特許的シンプレクティックマニフォールドへの形式的枠組みの特殊化を行い、$ R_n $ が完全に対称的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロザンスキー＝ウィットン不変量は、リーマン曲率の代わりにアティヤ類を用いて再構成可能か？
• RQ2 アティヤ類は、コhomological オペラッド枠組みにおいてジャンビ・アイデンティティを満たすか？
• RQ3 不変量 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ は、ハイパーカラーメトリックに限らず、任意のケーラー計量から計算可能か？
• RQ4 タウトロジカル形式の形式的幾何学的枠組みは、コンツェビッチの元の $ \bar{\partial} $-フォリエーションアプローチとどのように関係するか？
• RQ5 不変量 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ の構成の背後には、モジュラー dg-オペラッド構造が存在するか？ そして、ゲルファンド＝フクスコhomology とどのように関係するか？

主な発見

• 接バンドルのアティヤ類は、複素多様体上の任意のケーラー計量に対して、$ c_{\rm \Gamma}(X) $ 不変量のコhomological 述語として有効である。
• シフトされたコhomology 空間 $ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ は、アティヤ類とカップ積を介して自然に階数付きリー代数構造を持つ。
• アティヤ類は、対角の形式的近傍上の関数層に同型な複体として形式化された、ホモトピー的リー代数構造に従うジャンビ・アイデンティティを満たす。
• 形式的枠組みは、モジュラー dg-オペラッドの準同型 $ \tilde{\cal F} \to \Omega^{0,\bullet}(\mathcal{E}[T]) $ への拡張となり、曲率テンソル $ R_{\Gamma} $ はコhomological サイクルを形成する。
• 特許的シンプレクティックの場合、曲率テンソル $ R_n $ は完全に対称的であり、グラフ複体 $ \mathcal{F}((g,0)) $ からドルベオール複体への準同型を定義する。
• 形式的幾何学的アプローチにより、準同型 $ \tilde{\cal F} \to H^0(X, (p_*\Omega^{\bullet}_{\Psi/X}) \otimes \mathcal{E}[T]) $ が得られ、タウトロジカル形式 $ \bar{\alpha}_\Gamma $ が不変量を符号化する。