[論文レビュー] Rudin's Theorem and Projective Hulls

John Wermer|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Analytic and geometric function theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単位円上の実解析的関数が、正則関数と組み合わされると、すべての関数が正則でなければならないモジュールを生成する十分条件を確立する。双対性、F. と M. リーマンの定理、解析接続の性質を用いて、内部の点評価が境界上でノルムの上限に対して有界であれば、関数は正則であることを証明する。主な結果は、その関数のグラフの射影的包絡に、円板像以外の追加の点を含まない場合、関数は整関数でなければならないことである。

ABSTRACT

Walter Rudin, in 1966, characterized analytic functions in the unit disk in terms of the maximum principle relative to the boundary. We conjecture a generalization of this result when the disk is replaced by the punctured disk, and we prove a special case of this conjecture, making use of the notion of projective hull in P^n introduced by R. Harvey and B. Lawson.

研究の動機と目的

• 代数からモジュールへのルジンの定理の拡張を、有界な点評価条件を導入することで行う。
• 単位円上の実解析的関数によって定義されるC^2内の閉曲線の射影的包絡の構造を調査する。
• このような曲線の射影的包絡が、関数による単位円板の像と等しくなる条件を特定する。
• 射影的包絡に、円板像以外の追加の点を含まない場合、関数は正則（かつ整関数）でなければならないことを証明する。
• 関数のグラフの射影的包絡を用いた、整関数の特徴付けを確立する。

提案手法

• ディスク代数 A₀ 上のモジュール M を、a, b ∈ A₀ かつ φ が Δ 上連続である関数 a + bφ の集合として定義する。
• 有界な点評価条件を課す：各 x ∈ int(Δ) に対して、すべての f ∈ M に対して |f(x)| ≤ Mₓ sup_Γ |f| が成り立つ。
• ハーン＝バナッハの定理と F. と M. リーマンの定理を用いて、点 0 における評価を Γ 上の測度 σ による積分として表現する。
• σ と正規化されたリーマン測度の差が、H¹ 関数 h の境界関数であることを示す。
• φσ に対しても同様の技法を適用し、σ に関して φ = (α + k)/(1 + h) が Γ 上 almost everywhere に成り立つことを導く。ここで k と h は H¹ 関数である。
• 解析接続と φ が Γ 上で実解析的であることから、(α + k)/(1 + h) が Δ 上で有理型関数に拡張され、その後、有限個のブラシチェ型積を乗じることで正則関数に拡張されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 φ が Δ 上で連続で Γ 上で実解析的である関数 a + bφ からなるディスク代数上のモジュール M が、すべての関数が正則関数であるための条件は何か？
• RQ2 φ が正則でない場合、C² 内の曲線 γ = {(ζ, φ(ζ)) : ζ ∈ Γ} の射影的包絡が、単位円板の像以外の点を含む可能性はあるか？
• RQ3 曲線 γ の射影的包絡が、閉単位円板の像と等しいならば、φ は Δ 上で正則でなければならないか？
• RQ4 モジュール M 上の点評価汎関数の有界性と φ の正則性の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 単位円上での実解析的関数のグラフの射影的包絡が、円板の像と一致するのは、関数が整関数であるための必要十分条件か？

主な発見

• Δ の各内部点における評価汎関数が Γ 上のノルムの上限に対して有界であれば、モジュール M に属するすべての関数は正則関数である。
• φ が Γ 上 almost everywhere で (α + k)/(1 + h) に等しいことが示され、ここで k と h は H¹ 関数である。これは φ が Δ 上で有理型関数であり、極を除けば正則関数であることを示唆する。
• 解析接続と Γ 上での φ の実解析的性質を用いて、φ が C 上で整関数に拡張されることを示す。
• C² 内の曲線 γ = {(ζ, φ(ζ)) : ζ ∈ Γ} の射影的包絡は、φ が整関数であることと同値に、閉単位円板の像に等しい。
• φ が正則でないと仮定すると、次数 2d の多項式 P_d が構成され、|P_d| が γ 上で小さいが内部点 (α₀, φ(α₀)) では大きいという矛盾が生じる。これにより、射影的包絡条件に反する。