[論文レビュー] Ruelle Operator for Continuous Potentials and DLR-Gibbs Measures

Leandro Cioletti, Artur O. Lopes+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非可算なアルファベット上での連続的ポテンシャルに対して、DLR-Gibbs測度を転置Ruelle作用素の固有測度として特徴づけるものであり、Bowenの一意性基準を一般化する。DLR-Gibbs測度と固有確率測度の同値性を証明し、コンパクトな距離的アルファベット上でのBowenのポテンシャルに対してRuelle作用素の正の固有関数の存在を示す。

ABSTRACT

In this work we study the Ruelle Operator associated to a continuous potential defined on a countable product of a compact metric space. We prove a generalization of Bowen's criterion for the uniqueness of the eigenmeasures. One of the main results of the article is to show that a probability is DLR-Gibbs (associated to a continuous translation invariant specification), if and only if, is an eigenprobability for the transpose of the Ruelle operator. Bounded extensions of the Ruelle operator to the Lebesgue space of integrable functions, with respect to the eigenmeasures, are studied and the problem of existence of maximal positive eigenfunctions for them is considered. One of our main results in this direction is the existence of such positive eigenfunctions for Bowen's potential in the setting of a compact and metric alphabet. We also present

研究の動機と目的

• 非可算なアルファベット上での連続的ポテンシャルへの古典的Ruelle作用素理論の拡張、特にコンパクトな距離空間に対して。
• 転置Ruelle作用素の固有確率測度としてDLR-Gibbs測度を特徴づけること。
• 非可算なアルファベット上での連続的ポテンシャルの文脈において、固有測度に対するBowenの一意性基準を一般化すること。
• Lebesgue空間上でのRuelle作用素の有界拡張を研究し、最大の正の固有関数の存在を証明すること。
• 連続的ポテンシャルの文脈において、熱力学的形式主義の文脈でDobrushinの定理のバージョンを提示すること。

提案手法

• コンパクトな距離的空間の可算な直積上に、事前測度を用いてRuelle作用素を定義し、古典的転送作用素を一般化する。
• Ruelle作用素の転置を用いて、方程式 $\mu = \mathscr{L}_f^* \mu$ を通じて、DLR-Gibbs測度を固有確率測度として特徴づける。
• 単調収束定理と核理論を用いて、条件付き期待値と不変測度の極限挙動を分析する。
• Ruelle作用素の作用に関して時間 $n$ までで不変な集合からなる $\sigma$-代数 $\mathscr{A}_n(\mu)$ を導入し、$\mathscr{A}(\mu) = \bigcap_n \mathscr{A}_n(\mu)$ を定義する。
• 極小なDLR-Gibbs測度が $\mathscr{A}(\mu)$ 上で自明であることを証明し、エルゴディシティをテイル $\sigma$-代数 $\mathscr{T}$ と結びつける。
• Radon-Nikodymの定理と核の性質を用いて、平行移動不変性の下で、固有測度が正確にDLR-Gibbs測度に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DLR-Gibbs測度が転置Ruelle作用素の固有測度であるための条件は何か？
• RQ2 Bowenの一意性基準は、非可算なアルファベット上での連続的ポテンシャルにどのように一般化できるか？
• RQ3 連続的ポテンシャルの文脈において、Ruelle作用素の正の固有関数の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 DLR-Gibbs測度に対して、テイル $\sigma$-代数 $\mathscr{T}$ と不変 $\sigma$-代数 $\mathscr{A}(\mu)$ の関係は何か？
• RQ5 熱力学的形式主義の文脈において、Dobrushinの定理のバージョンを構築することは可能か？

主な発見

• 連続的で平行移動不変な仕様に対して、確率測度 $\mu$ がDLR-Gibbs測度であるための必要十分条件は、転置Ruelle作用素の固有確率測度であることである。
• 本稿は、Bowenの一意性基準を非可算なアルファベット上での連続的ポテンシャルに一般化し、固有測度の一意性の十分条件を提供する。
• コンパクトな距離的アルファベット上でのBowenのポテンシャルに対して、Ruelle作用素はLebesgue空間 $L^1(\mu)$ 内に正の固有関数を有し、スペクトル的性質を保証する。
• Ruelle作用素に関して不変な集合からなる $\sigma$-代数 $\mathscr{A}(\mu)$ は、テイル $\sigma$-代数 $\mathscr{T}$ の $\mu$-完備化である。これにより、エルゴディシティと不変性が結びつく。
• 極小なDLR-Gibbs測度は $\mathscr{A}(\mu)$ 上で自明であり、したがって $\mathscr{T}$ 上でも自明である。これにより、極小性とテイル自明性との間の関係が確認される。
• 本稿は、熱力学的形式主義の文脈において、連続的ポテンシャルの非可算なアルファベットへの応用を拡張する形で、Dobrushinの定理のバージョンを提示する。