[論文レビュー] Ruelle-Perron-Frobenius operator approach to the annealed pinning model with Gaussian long-range correlated disorder

Julien Poisat|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ガウス型長距離相関を持つ不純物を有するアニールドピンニングモデルを、ルエル＝ベルソン＝フロベニウス（RPF）作用素フレームワークを用いて研究する。可算マルコフシフト上の遷移作用素のスペクトル的性質を分析することにより、不純物相関が十分に速く（指数的または指数α > 0 の多項式的）減少する場合、アニールド臨界挙動は均一モデルと同一であり、同じ臨界指数を示すことが証明される。この結果は、弱い相関を持つ不純物下でも均一系の相転移が安定であることを示している。

ABSTRACT

In this paper we study the pinning model with correlated Gaussian disorder. The presence of correlations makes the annealed model more involved than the usual homogeneous model, which is fully solvable. We prove however that if the disorder correlations decay fast enough then the annealed critical behaviour is the same as the homogeneous one. Our result is sharper if the decay is exponential. The approach we propose relies on the spectral properties of a transfer or Ruelle-Perron Frobenius operator related to the model. We use results on these operators that were obtained in the framework of the thermodynamic formalism for countable Markov shifts. We also provide large-temperature asymptotics of the annealed critical curve under weaker assumptions.

研究の動機と目的

• 不純物が長距離ガウス相関を示す場合のアニールドピンニングモデルの臨界挙動を理解すること。
• アニールド臨界指数が均一（非確率的）モデルと一致する条件を特定すること。
• Ruelle-Perron-Frobenius作用素のアプローチを、有限範囲の相関に限らず、無限範囲の長距離相関不純物へと拡張すること。
• 相関減少の弱い仮定の下で、アニールド臨界曲線の高温（大β）漸近挙動を確立すること。

提案手法

• 独立同分布の間隔を持つ再生過程とハミルトニアンを用いて、ガウス型長距離相関不純物を有するアニールドピンニングモデルを定式化する。
• ガウスモーメント母関数を用いて不純物平均をとることで、アニールド分配関数と自由エネルギーを導出する。
• 可算マルコフシフト上の無限記号的力学系にRuelle-Perron-Frobenius（RPF）作用素を適用し、スペクトル的性質を分析する。
• 可算マルコフシフトにおける熱力学的形式主義の結果を用いて、遷移作用素の反復の成長を制御し、臨界挙動を導出する。
• RPF作用素を用いたサブアディティブ性とスペクトルギャップ推定により、自由エネルギーと臨界曲線を評価する。
• 小不純物強度下でのRPF作用素に対する摂動論を適用し、スペクトルデータと臨界指数の挙動を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離相関ガウス不純物を有するピンニングモデルのアニールド臨界指数は、均一モデルと一致するか？
• RQ2 不純物の相関構造がどの程度の減少条件下で、アニールド臨界挙動が均一系と同一のままであるか？
• RQ3 ピンニングモデルにおいて、Ruelle-Perron-Frobenius作用素フレームワークを有限範囲の相関から無限範囲の相関不純物へ拡張可能か？
• RQ4 相関減少が弱い条件下で、アニールド臨界曲線の高温（小β）漸近挙動はいかなるものか？
• RQ5 遷移作用素のスペクトル的性質は、アニールドモデルにおける相転移とどのように関係するか？

主な発見

• ガウス不純物相関が十分に速く減少する場合——特に多項式的減少率α > 0 または指数的減少の場合——アニールド臨界指数は均一モデルと一致する。
• 指数的減少の場合は、結果がより鋭くなる：臨界挙動は均一系と同一であり、臨界指数に補正項がない。
• RPF作用素のアプローチにより、可算マルコフシフト上のスペクトル解析を用いてアニールド自由エネルギーを厳密に制御でき、従来の有限範囲相関に限った結果を拡張する。
• 多項式的減少（α > 0）を含む弱い仮定の下で、アニールド臨界曲線の高温漸近挙動が導出される。
• モーメント条件∑nK(n) < ∞の下で、h_c^a(β) ∼ −(β²/2)(1 + 2∑ₙ ρₙP(n∈τ)) がβ↓0の下で成立する。
• ∑n nK(n) < ∞の下では、すべてのβ ≥ 0に対して臨界曲線の上界が得られ、これはアニールド分配関数におけるジャンセンの不等式を用いて導出される。