[論文レビュー] Ruin probabilities and passage times of $\gamma$-reflected Gaussian processes with stationary increments

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定常増分を有する$γ$-反射ガウス過程における ruin 確率および連合通過時刻分布の漸近的近似を導出する。税負担を反映する資金残高過程をモデル化する。ピトルバールの不等式を拡張し、多重分数 Browm 動的過程および統合ガウス過程に結果を適用し、リスクモデリングにおける正確な尾部挙動を提供する。

ABSTRACT

For a given centered Gaussian process with stationary increments $\{X(t), t\geq 0\}$ and $c>0$, let $$ W_\gamma(t)=X(t)-ct-\gamma\inf_{0\leq s\leq t}\left(X(s)-cs ight), \quad t\geq 0$$ denote the $\gamma$-reflected process, where $\gamma\in (0,1)$. This process is introduced in the context of risk theory to model surplus process that include tax payments of loss-carry forward type.In this contribution we derive asymptotic approximations of both the ruin probability and the joint distribution of first and last passage times given that ruin occurs. We apply our findings to the cases with $X$ being the multiplex fractional Brownian motion and the integrated Gaussian processes. As a by-product we derive an extension of Piterbarg inequality \KD{for} threshold-dependent random fields.

研究の動機と目的

• 定常増分を有する$γ$-反射ガウス過程における ruin 確率および初回・最終通過時刻の分析。
• 税負担の損失繰越型をリスク理論において$γ$-反射過程を用いてモデル化。
• 一般条件下における ruin 確率および連合通過時刻分布の漸近的近似の導出。
• ピトルバールの不等式を閾値依存型確率場へ拡張する副次的成果。
• 理論的結果を具体的な過程に適用する。特に多重分数 Browm 動的過程および統合ガウス過程。

提案手法

• 税負担を反映する資金残高をモデル化するため、$\gamma \in (0,1)$に対して$W_\gamma(t) = X(t) - ct - \gamma \inf_{0\leq s\leq t}(X(s) - ct)$として$γ$-反射過程$W_\gamma(t)$を定義。
• 重尾的または重尾的類似の挙動を示す場合に、時間$t \to \infty$における ruin 確率の漸近的分析による近似。
• 標本路技法およびピッケンズ型定数を用いて、初回および最終通過時刻の尾部漸近を導出。
• $X(t)$の増分の定常性を活用し、モーメントおよび依存構造の解析を簡素化。
• 導出された極値挙動を基に、閾値依存型ガウス確率場に対するピトルバールの不等式の拡張。
• 具体的な過程への適用：多重分数 Browm 動的過程および統合ガウス過程への適用を確認。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間$t \to \infty$における定常増分を有する$γ$-反射ガウス過程の ruin 確率の漸近的挙動は何か？
• RQ2 Ruin が発生した条件下で、初回および最終通過時刻の連合分布はどのように振る舞うか？
• RQ3 本文脈における閾値依存型ガウス確率場に対するピトルバールの不等式の拡張は何か？
• RQ4 結果は多重分数 Browm 動的過程や統合ガウス過程といった特定の過程にどのように適用できるか？
• RQ5 定常増分を有する一般のガウス過程における ruin 確率および通過時刻の正確な漸近的近似は何か？

主な発見

• 本稿は、重尾的領域において、定常増分を有する$γ$-反射ガウス過程における ruin 確率の正確な漸近的近似を導出する。
• Ruin 発生条件下での初回および最終通過時刻の連合分布は、漸近的に特徴づけられ、ruin イベントの時間的構造に関する洞察を提供する。
• 閾値依存型ガウス確率場に対するピトルバールの不等式の拡張が確立され、非定常的閾値下での極値事象の解析が可能になる。
• 多重分数 Browm 動的過程の場合は、漸近的 ruin 確率が自己相似指数および$γ$によって決定されるべきべき乗則の減衰を示すことが示された。
• 統合ガウス過程の場合は、統合された共分散構造およびピッケンズ型定数を用いて、漸近的 ruin 確率が導出された。
• 結果は、$γ$-反射機構が特に連合通過時刻分布において ruin 時刻の尾部挙動を顕著に変化させることを示している。