[論文レビュー] Ruin probabilities for two collaborating insurance companies

Zbigniew Michna|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Probability and Risk Models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、断片的線形のドリフトを伴うスペクトル的に片側のレヴィ過程の上界分布に対する正確な公式を導出し、比例配分で損害と保険料を共有する2つの提携保険会社の破産確率の明示的計算を可能にする。主な貢献は、1次元のレヴィ過程の密度を用いて、有限および無限時間の破産確率の閉形式表現を提供することであり、ガンマ、$α$-安定、およびブラウン運動過程において検証済みである。

ABSTRACT

In this note we find a formula for the supremum distribution of spectrally positive or negative Lévy processes with a broken linear drift. This gives formulas for ruin probabilities in the case when two insurance companies (or two branches of the same company) divide between them both claims and premia in some specified proportions. As an example we consider gamma Lévy process, $α$-stable Lévy process and Brownian motion. Moreover we obtain identities for Laplace transform of the distribution for the supremum of Lévy processes with randomly broken drift and on random intervals.

研究の動機と目的

• スペクトル的に正または負のレヴィ過程に断片的線形ドリフトを伴う上界分布の正確な公式を導出すること。
• これらの公式を、比例再保険を採用する2保険会社モデルにおける破産確率の計算に応用すること。
• 従来の研究が無限時間に限定されていたのに対し、有限および無限時間の両方の時間枠に対して明示的な公式を提供することで、既存の結果を拡張すること。
• ランダムなドリフトの中断およびランダムな時間間隔における上界分布のラプラス変換の恒等式を確立すること。
• 具体的なレヴィ過程（ガンマ、$α$-安定、およびブラウン運動）を用いてフレームワークを検証すること。

提案手法

• 双対性およびレヴィ過程理論における既知の恒等式を用いて、スペクトル的に負のレヴィ過程の上界と終値の同時分布を導出する。
• ケネディの恒等式および双対性補題を用いて、スペクトル的に負のプロセスから正のプロセスへの結果の変換を行う。
• レヴィ指数の逆変換を用いて、上界分布のラプラス変換を導出し、ベルトインおよびデビツキとマンジューズの既知の結果を活用する。
• 指数的時間変換および通過時刻技術を用いて、ランダムな時間間隔およびランダムなドリフト変更における上界分布のラプラス変換の恒等式を確立する。
• レヴィ指数の逆変換および畳み込み恒等式を用いて、破壊されたドリフトを伴うレヴィ過程の上界のラプラス変換の明示的公式を導出する。
• ガンマ、$α$-安定、およびブラウン運動の具体的なプロセスにおいて結果を検証し、それらの破産確率の閉形式表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的に正または負のレヴィ過程に断片的線形ドリフトを伴う場合、その上界の正確な分布は何か？
• RQ2 上界分布は、対応するレヴィ過程の1次元的密度をどのように表現できるか？
• RQ3 損害と保険料を比例配分で共有する2つの提携保険会社の、有限および無限時間の破産確率は何か？
• RQ4 ドリフトがランダムに途切れたり、時間枠がランダムになった場合、破産確率はどのように変化するか？
• RQ5 破壊されたドリフトを伴うレヴィ過程の上界のラプラス変換について、ランダムな時間間隔上に明示的な公式を導出できるか？

主な発見

• 本稿では、プロセスの1次元的密度と、異なる時刻における密度の時間積分を含む式を用いて、スペクトル的に負のレヴィ過程の上界と終値の同時分布の閉形式表現を導出する。
• スペクトル的に正のレヴィ過程の場合、無限時間枠における破産確率は、増分の負の部分の期待値と時刻sにおけるプロセスの密度を含む式で与えられる。
• 破壊されたドリフトを伴うレヴィ過程の上界のラプラス変換の明示的公式が、逆レヴィ指数および畳み込み恒等式を用いて導出される。
• ドリフト付きブラウン運動の場合、レヴィ指数の逆変換を用いて上界のラプラス変換が閉形式で導出され、有理関数の表現が得られる。
• 本フレームワークは、ガンマ、$α$-安定、およびブラウン運動の3つの具体的なレヴィ過程において検証され、比例再保険下での破産確率の明示的表現が提供される。
• 本稿では、ランダムな時間間隔およびランダムなドリフト変更における上界分布のラプラス変換の恒等式が確立され、より現実的なリスクモデルへの適用可能性が拡張される。