[論文レビュー] Ruin probability of a discrete-time risk process with proportional reinsurance and investment for exponential and Pareto distributions

Helena Jasiulewicz, Wojciech Kordecki|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Probability and Risk Models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、比例再保険とランダムな投資収益を伴う離散時間リスク過程における有限時間の破産確率を分析し、指数分布（軽尾）およびパレート分布（重尾）の損失分布に注目している。破産確率の再帰的方程式を導出し、指数的請求に対してルンベルク上界を提供するとともに、初期資本が増加する際のパレート請求における漸近的近似を確立している。リスク管理意思決定における再保険水準や金利の変化に対する高速収束性と実用的有用性を示している。

ABSTRACT

In this paper a quantitative analysis of the ruin probability in finite time of discrete risk process with proportional reinsurance and investment of finance surplus is focused on. It is assumed that the total loss on a unit interval has a light-tailed distribution -- exponential distribution and a heavy-tailed distribution -- Pareto distribution. The ruin probability for finite-horizon 5 and 10 was determined from recurrence equations. Moreover for exponential distribution the upper bound of ruin probability by Lundberg adjustment coefficient is given. For Pareto distribution the adjustment coefficient does not exist, hence an asymptotic approximation of the ruin probability if an initial capital tends to infinity is given. Obtained numerical results are given as tables and they are illustrated as graphs.

研究の動機と目的

• 比例再保険および利益剰余の投資を伴う離散時間リスク過程における有限時間破産確率を分析すること。
• 再保険会社の負荷率が保険会社の負荷率を上回る場合（ξ > θ）においても、指数的請求におけるルンベルク上界の破産確率に対する性能を評価すること。
• 初期資本が増加する際の重尾的パレート請求における破産確率の漸近的近似を構築し、検証すること。
• 望ましい破産確率の閾値に達するための最適な再保険留保水準および初期資本要件に関する実用的指針を提供すること。
• 同一の幾何モーメントを有する条件下で、軽尾（指数的）および重尾（パレート）分布の間で数値結果を比較すること。

提案手法

• 比例再保険および利益剰余におけるランダム金利を伴う離散時間リスクモデルにおける有限時間破産確率の再帰的方程式を導出する。
• 指数的請求における破産確率の上界を導出するために、ルンベルク調整係数法を適用する。
• 正規変動尾理論を用いて、重尾的パレート請求における破産確率の理論的漸近的近似を確立する。
• 再帰的方程式を数値的に解き、初期資本、留保水準、金利のさまざまな組み合わせに対する破産確率表およびグラフを生成する。
• 公平な数値的比較のため、指数的およびパレート分布の幾何平均と分散を一致させる。
• 初期資本および留保水準に関する破産確率のグラフィカル可視化を用いて、傾向および収束性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間リスク過程は、調整係数の最大化が最適留保を決定する連続時間モデルと同一の最適留保行動を示すか？
• RQ2 再保険会社の負荷率が保険会社の負荷率を上回る場合（ξ > θ）において、特に比例再保険の文脈で、破産確率に対するルンベルク上界の正確さはいかがなものか？
• RQ3 初期資本が増加する際、重尾的パレート請求における破産確率の漸近的近似は、正確かつ速やかに収束するか？
• RQ4 初期資本、再保険留保水準、およびそれらがもたらす破産確率との関係は、軽尾および重尾的損失分布の両方においてどのように変化するか？
• RQ5 数値表およびグラフを用いて、破産確率を所定の閾値（例：0.05）未満に保つために必要な最小初期資本または最適な留保水準を特定できるか？

主な発見

• 指数的請求の場合は、ルンベルク上界は依然として有効であるが、再保険会社の負荷率が保険会社の負荷率を上回る場合（ξ > θ）には、調整係数が凸でなくなるため、精度が低下する。
• ξ = θ の場合、調整係数は凸であるため上界の品質が向上するが、ξ > θ の場合、この凸性が失われ、上界の信頼性が低下する。
• パレート分布の請求の場合は、初期資本が増加するに従い、破産確率の漸近的近似が極限値に速やかに収束することが確認され、実用的有用性が裏付けられた。
• 数値結果から、固定された初期資本に対して、留保水準が高くなるほど破産確率が上昇することが示され、離散モデルでは最小留保水準が破産確率を最小化することがわかる。
• 5年間の期間および5％の金利条件下では、パレート請求の下で、初期資本 u=1 は、留保水準 b ∈ (0.2,1] のいかなる水準に対しても破産確率を 0.05 未満に保つのに不十分であることが、表4の「lack」に示されている。
• 図3および図4のグラフは、初期資本の増加に従い破産確率が低下し、留保水準の低下に従い破産確率が低下することを示しており、低い留保水準および高い資本では急激な低下が観察される。