[論文レビュー] Ruled special Lagrangian 3-folds in C^3

Dominic Joyce|ArXiv.org|Dec 8, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ハーヴェイ＝ロウソンおよびボリセンコの構成を一般化することで、ℂ³におけるルールド特別ラグランジュ3次元多様体の明示的族を構成する。固定された特別ラグランジュ錐に対して、それと漸近的であるルールドSL 3次元多様体の集合がベクトル空間をなすこと、および関連するリーマン面上の正則ベクトル場を用いた方法により、トーラスおよびクラインボトル位相を持つ新しい明示的例が得られることを証明する。

ABSTRACT

This is the fourth in a series of papers math.DG/0008021, math.DG/0008155, math.DG/0010036 constructing explicit examples of special Lagrangian submanifolds (SL m-folds) in C^m. A submanifold of C^m is ruled if it is fibred by a family of real straight lines in C^m. This paper studies ruled special Lagrangian 3-folds in C^3, giving both general theory and families of examples. Our results are related to previous work of Harvey and Lawson, Borisenko and Bryant. An important class of ruled SL 3-folds is the special Lagrangian cones in C^3. Each ruled SL 3-fold is asymptotic to a unique SL cone. We study the family of ruled SL 3-folds N asymptotic to a fixed SL cone N_0. We find that this depends on solving a linear equation, so that the family of such N has the structure of a vector space. We also show that the intersection Sigma of N_0 with the unit sphere in C^3 is a Riemann surface, and construct a ruled SL 3-fold N asymptotic to N_0 for each holomorphic vector field w on Sigma. As corollaries of this we write down two large families of explicit SL 3-folds depending on a holomorphic function on C, which include many new examples of singularities of SL 3-folds. We also show that each SL T^2 cone N_0 can be extended to a 2-parameter family of ruled SL 3-folds asymptotic to N_0, and diffeomorphic to T^2 x R.

研究の動機と目的

• 固定された特別ラグランジュ錐に漸近するℂ³におけるルールド特別ラグランジュ3次元多様体の明示的族を構成すること。
• リーマン面上の正則ベクトル場に基づく新しい枠組みを用いて、ハーヴェイ＝ロウソンおよびボリセンコの既存の構成を一般化すること。
• トーラス×ℝまたはクラインボトル上の実ラインバンドルに微分同相であるルールドSL 3次元多様体の明示的パラメトライゼーションを提供すること。
• U(1)作用におけるG不変ルールドSL 3次元多様体の構造を調べ、解の族を同定すること。

提案手法

• ルールドSL 3次元多様体Nを、N = {rϕ(σ) + ψ(σ) : r ∈ ℝ, σ ∈ Σ} と表現する。ここでϕはS⁵に倣い、ψはℂ³に倣う。
• 漸近的錐N₀ = {rϕ(σ) : r ∈ ℝ, σ ∈ Σ} を定義し、これが特別ラグランジュ的でなければならない。
• N₀が特別ラグランジュ的でありϕが固定されているとき、Nが特別ラグランジュ的であることと、ψが線形偏微分方程式を満たすこととは同値であることを証明する。
• 定理6.1を用いて、リーマン面Σ上の正則ベクトル場wから、ψをwおよび∂ϕ/∂s、∂ϕ/∂tを用いて導出することで、ルールドSL 3次元多様体を構成する。
• アーベル・ヤコビ楕円関数を用いて、具体的なT²錐に適用し、2パラメータ族のSL 3次元多様体を得る。
• G不変の場合を、楕円関数を係数とする4変数の線形一階常微分方程式に還元し、正則ベクトル場を用いて部分的に解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された特別ラグランジュ錐N₀に漸近するルールド特別ラグランジュ3次元多様体の集合は、ベクトル空間構造をもつだろうか？
• RQ2 リーマン面Σ = N₀ ∩ S⁵上の正則ベクトル場wは、ℂ³における新しいルールドSL 3次元多様体をどのように生成できるか？
• RQ3 既知のT²錐から、どのような明示的族のルールドSL 3次元多様体が生じ、それらの位相的型は何か？
• RQ4 G不変ルールドSL 3次元多様体はどの程度分類可能であり、楕円関数係数をもつ線形常微分方程式の解とどのように関係するか？
• RQ5 この方法により構成されたルールドSL 3次元多様体に、以前の例とは異なる新しい特異点が存在するだろうか？

主な発見

• 固定された特別ラグランジュ錐N₀に漸近するルールドSL 3次元多様体の集合は、N₀とϕが固定されているときψが線形方程式を満たすため、ベクトル空間をなす。
• リーマン面Σ上の任意の正則ベクトル場wに対して、N₀に漸近するルールドSL 3次元多様体Nを構成可能であり、ボリセンコおよびブライアントの結果を一般化する。
• T²錐から、トーラス×ℝに微分同相な2パラメータ族のルールドSL 3次元多様体が得られ、b₁が偶数のとき新しい特異点をもつ。
• b₁が奇数でu=0のとき、この構成はクラインボトル上の実ラインバンドルの全空間に微分同相な1パラメータ族のルールドSL 3次元多様体をもたらす。
• G不変の場合、4次元族の明示的SL 3次元多様体が得られるが、解の6次元空間全体はまだ部分的に未知のままである。
• この方法により、トーラス×ℝおよびクラインボトルラインバンドル位相をもつSL 3次元多様体の新しい例が得られ、アーベル・ヤコビ楕円関数を含む明示的公式を用いる。