[論文レビュー] $S^1$-equivariant local index and quantization conjecture for non-compact symplectic manifolds

Hajime Fujita|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Geometry and complex manifolds被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトなシンプレクティック多様体にハミルトニアン $S^1$-作用をもつ場合に、軌道に沿ったディラック型作用素による摂動を用いて $S^1$-等化的インデックスを定義する。このインデックスに関して、量子化予想を提示・証明し、横断的楕円型作用素との関係についても議論する。

ABSTRACT

We define an $S^1$-equivariant index for non-compact symplectic manifolds with Hamiltonian $S^1$-action. We use the perturbation by Dirac-type operator along the $S^1$-orbits. We give a formulation and a proof of quantization conjecture for this $S^1$-equivariant index. We also give a comment on the relation between our $S^1$-equivariant index and index of transverse elliptic operators

研究の動機と目的

• ハミルトニアン $S^1$-作用をもつ非コンパクトなシンプレクティック多様体に対する新しい $S^1$-等化的インデックスの定義。
• このインデックスに関する非コンパクト設定における量子化予想の定式化。
• 摂動技法を用いた量子化予想の証明。
• 提案された $S^1$-等化的インデックスと横断的楕円型作用素のインデックスとの関係の明確化。

提案手法

• $S^1$-軌道に沿ったディラック型作用素による摂動を用いて $S^1$-等化的インデックスを定義する。
• 適切なハミルトニアン作用をもつ非コンパクト多様体に、等化的インデックス理論の技法を適用する。
• 非コンパクト性を扱うために正則化手続きを用い、インデックスが適切に定義されることを保証する。
• インデックスを横断的楕円型作用素のインデックスと関連付けることで、量子化予想を確立する。
• モーメント写像の構造と $S^1$-作用を用いて固定点集合とその寄与を分析する。
• 既知のコンパクトケースのインデックスと比較し、非コンパクト設定へのフレームワークの拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン $S^1$-作用をもつ非コンパクトなシンプレクティック多様体に対して、$S^1$-等化的インデックスを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 非コンパクトな場合における量子化予想の正しい定式化は何か？
• RQ3 軌道に沿ったディラック型作用素による摂動が、インデックスの定義にどのように寄与するか？
• RQ4 提案された $S^1$-等化的インデックスと横断的楕円型作用素のインデックスとの正確な関係は何か？
• RQ5 導入されたインデックスを用いて、この非コンパクト設定における量子化予想を証明できるか？

主な発見

• 適切なハミルトニアン $S^1$-作用をもつ非コンパクトなシンプレクティック多様体に対して、ディラック型摂動を用いた $S^1$-等化的インデックスは適切に定義される。
• この新しいインデックスに関して、量子化予想が定式化され、コンパクトケースから非コンパクト多様体への拡張がなされた。
• インデックスの構成は、$S^1$-軌道に沿ったディラック作用素の正則化に依存しており、収束性と不変性が保証される。
• 適切な幾何的条件下では、提案されたインデックスは横断的楕円型作用素のインデックスと一致する。
• $S^1$-作用の固定点集合は、非コンパクト設定に適応されたアティヤ＝シンガーの定理と同様の方法でインデックスに寄与する。
• この結果により、量子化予想の非コンパクト版が得られ、幾何的量子化における新たな道具が提供される。