[論文レビュー] S^1-Equivariant simplicial algebras and de Rham theory

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|Apr 21, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$S^1$--equivariantな単体的 $k$-代数と $\epsilon$-dg代数の間で、ファンクター的かつホモトピー論的な同値性を確立し、滑らかな $k$-代数 $A$ のde Rham代数が自然に $S^1$-ホモトピー固定点 $S^1 \otimes A$ に同型であることを示している。主な結果として、滑らかな $k$-スキームの導来ループ空間上の $S^1$--equivariant関数がそのde Rhamコホモロジーに同型であることを特定し、Hochschild-Kostant-Rosenberg定理の直接的かつ乗法的な証明を提供している。

ABSTRACT

This is a companion paper our previous submission "\infty-categories monoidales rigides et caracteres de Chern", in which we give a comparison between functions on the derived loop space of a smooth scheme of caracteristic zero, and its algebraic de Rham cohomology. As a consequence we obtain functorial and multiplicative versions of the HKR decomposition theorem relating Hochschild homology and Hodge cohomology.

研究の動機と目的

• 滑らかな $k$-スキーム $X$ の導来ループ空間 $LX$ 上の関数とそのde Rhamコホモロジーの間で、cyclotomicホモロジーを経由せずに直接的かつファンクター的な比較を確立すること。
• $S^1$--equivariantな単体的 $k$-代数の圏と $\epsilon$-dg代数の圏の間で、ホモトピー論的同値性を構成すること。
• 分離された $k$-スキームにおける導来代数幾何学におけるHochschild-Kostant-Rosenberg同型の新しい乗法的証明を提供すること。
• $\epsilon$-作用素がde Rham理論において果たす役割を、 $S^1 \otimes A$ 上の $S^1$-作用と関連づけることにより明確化すること。

提案手法

• 滑らかな $k$-代数 $A$ を単体的群 $S^1 = B\mathbb{Z}$ とテンソル積を取ることで得られる単体的 $k$-代数 $S^1 \otimes A$ を定義し、その上に自然な $S^1$-作用（平行移動）を備える。
• $\epsilon$-dg代数 $\epsilon(A)$ を、de Rham代数 $DR(A) = \mathrm{Sym}_A(\Omega_{A/k}^1[1])$ に、次数 $-1$ の作用素 $\epsilon$ を備え、その作用が階数付きライブニッツ則を満たすように定義する。
• 導来ファンクター $\mathbb{L}\epsilon$ と $S^1 \otimes^\mathbb{L} -$ を用いて、 $S^1$-equivariantな単体的 $k$-代数のホモトピー論と $\epsilon$-dg代数の間で導来同値 $\phi$ を確立する。
• 単体的代数とdg代数を結ぶ正規化ファンクター $N$ を用い、任意の単体的 $k$-代数 $A$ に対して $\mathbb{L}\epsilon(N(A)) \simeq \phi(S^1 \otimes^\mathbb{L} A)$ を示す。
• 分離された $k$-スキーム $X$ の構造層 $\mathcal{O}_X$ に同値を適用し、 $\phi(\mathcal{O}(LX)) \simeq \mathbb{R}\Gamma(X, \epsilon(X))$ を得る。ここで $\mathcal{O}(LX) = \mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)$ である。
• 同型 $\mathrm{Hom}_{Ho(\epsilon\text{-}dg\text{-}mod)}(k, B) \simeq H^0(\mathrm{Tot}(\mathcal{B}B^{-}))$ を用いて、 $\mathcal{O}(LX)$ の $S^1$-ホモトピー固定点を $X$ の偶数次元de Rhamコホモロジーとして計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cyclotomicホモロジーを経由せずに、滑らかな $k$-スキームの導来ループ空間をそのde Rhamコホモロジーと直接的にどのように関連付けることができるか？
• RQ2 $S^1$-equivariantな単体的代数と $\epsilon$-dg代数の間の正確なホモトピー論的関係は何か？
• RQ3 Hochschild-Kostant-Rosenberg同型は、導来代数幾何学においてファンクター的かつ乗法的な同値性として回復可能か？
• RQ4 de Rham複体上の $\epsilon$-作用素は、 $S^1 \otimes A$ 上の $S^1$-作用とどのように対応するか？
• RQ5 $S^1 \otimes \mathcal{O}_X$ のホモトピー固定点スペクトルはde Rhamコホモロジーの観点からどのように記述できるか？

主な発見

• $\mathcal{O}(LX) = \mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)$ の $S^1$-ホモトピー固定点は、 $X$ の偶数次元de Rhamコホモロジーに同型であり、すなわち $\pi_0(\mathcal{O}(LX)^{hS^1}) \simeq H^{ev}_{DR}(X)$ である。
• 任意の滑らかな $k$-代数 $A$ に対して $\phi(S^1 \otimes A) \simeq \epsilon(A)$ を満たす、 $S^1$-equivariantな単体的 $k$-代数のホモトピー論と $\epsilon$-dg代数の間のファンクター的かつホモトピー論的同値性 $\phi$ が存在する。
• 滑らかな $k$-スキーム $X$ の導来ループ空間 $LX$ に対して、 $S^1$-equivariant関数は $X$ のde Rham複体に同型であり、 $\epsilon(A)$ 上の $\epsilon$-構造は $S^1 \otimes A$ 上の $S^1$-作用に対応する。
• ホモトピー圏における $\mathcal{O}_X$-dg代数の圏で、 $\mathrm{Sym}_{\mathcal{O}_X}(\mathbb{L}_{X/k}[1]) \simeq \mathcal{O}_X \otimes^{\mathbb{L}}_{\mathcal{O}_X \otimes^{\mathbb{L}}_k \mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X$ が成り立つ。これはHKR定理を一般化する。
• $X$ の周期的循環コホモロジーは $H^*_{\mathrm{per}}(X/k) \simeq \pi_*(\mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)^{hS^1})[u^{-1}]$ として回復され、ここで $u$ は次数2の形式的変数である。