[論文レビュー] S-Bases in S-Linear Algebra

David Carfì|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2011

Graph theory and applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間によってインデックス付けられた連続的で分布的な基底（S-基底）を、緩和分布の空間に対して導入する。これは、可分ヒルベルト空間におけるヒルベルト基底に類似した、厳密な数学的枠組みを提供する。主な貢献は、重ね合わせ作用素が位相的同型写像であることに特徴づけられることを確立したことであり、これにより量子力学における物理的基底の完全かつ取り扱いやすいモデルが可能になる。

ABSTRACT

In this paper we define the S-bases for the spaces of tempered distributions. These new bases are the analogous of Hilbert bases of separable Hilbert spaces for the continuous case (they are indexed by m-dimensional Euclidean spaces) and enjoy properties similar to those shown by algebraic bases in the finite dimensional case. The S-bases are one possible rigorous and extremely manageable mathematical model for the "physical" bases used in Quantum Mechanics.

研究の動機と目的

• 無限次元空間におけるヒルベルト基底や代数的基底の連続的・分布的アナログを形式化すること。
• 特に連続スペクトルの文脈において、量子力学で用いられる「基底」の数学的に厳密なモデルの必要性に対処すること。
• S線形独立性とS生成子を定義・特徴づけ、S-基底を構成するための基礎的概念とすること。
• 緩和分布空間における完全なS-基底となるS族の条件として、位相的同型写像が成り立つ条件を確立すること。

提案手法

• S線形独立性を、R^m 上の重積分による零S線形結合（係数分布aに関する積分）がゼロであるならば、a = 0 がS’_m 内で成り立つという条件により定義する。
• 係数分布をインデックス空間R^m における線形結合に写す重ね合わせ作用素 ∫(·,v) : S’_m → S’_n を導入する。
• 双対性および単射性条件を特徴づけるために、随伴作用素 ŵ : S_n → S_m を用いる。
• Dieudonné-Schwartzの定理を適用し、弱*位相と強い位相の関係を、重ね合わせ作用素の上への性質および閉じた値域との関連で結びつける。
• S-基底の条件と、弱*位相および強い位相における双対空間上での位相的同型写像との同値性を確立する。
• デルタ関数族やフーリエ族などの例を用いて、S線形独立性を検証し、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限または可算な基底が存在しない状況において、緩和分布の連続的族がどのように基底として機能できるか。
• RQ2 どのような条件下で、分布族がS線形独立であると保証され、これは標準的線形独立性とどのように異なるか。
• RQ3 どのような位相的条件下で、S族が緩和分布空間全体を生成するか。
• RQ4 重ね合わせ作用素はS-基底の構造とどのように関係し、いつ位相的同型写像となるか。
• RQ5 位置状態や運動量状態などの量子力学における物理的基底を、緩和分布空間におけるS-基底として厳密にモデル化できるか。

主な発見

• デルタ関数族 (δ_x)_{x∈R^n} は、∫ a(x)δ_x dx = 0 ならば a = 0 がS’_m 内で成り立つため、S線形独立である。
• (a,b)-フーリエ族 (a^{-n}e^{-ib(p|·)})_{p∈R^n} は、フーリエ＝シュワーツ変換の単射性によりS線形独立である。
• デルタ関数の1階微分の族 (δ’_x)_{x∈R} は線形独立であるが、S線形独立ではない。これは、S’_1 上の微分作用素が全射ではあるが単射でないためである。
• S-基底が存在するための必要十分条件は、重ね合わせ作用素 ∫(·,v) が双対空間上の弱*位相および強い位相の両方で位相的同型写像であることである。
• 族 v がS-基底であるための必要十分条件は、関数空間 S_n および係数分布空間 S’_m において両方で完全であることである。
• 作用素 ŵ : S_n → S_m が位相的同型写像であるための必要十分条件は、v がS-基底であることである。これにより、試験関数空間と係数空間との間に双対性が確立される。