[論文レビュー] $S$-duality of $u(1)$ gauge theory with $θ=π$ on non-orientable manifolds: Applications to topological insulators and superconductors

Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、非可定向多様体上のディラックフェルミオンにおける時間反転対称性のTまたはCT対称性による実現を伴うθ=πのU(1)ゲージ理論同士のS双対性を確立する。RP⁴上での分配関数の計算を通じて、2つの理論の等価性を示し、ゲージ化されたトポロジカル絶縁体（クラスAII）とゲージ化されたトポロジカル超伝導体（クラスAIII）がS双対であるという予想を確認した。これにより、非自明なギャップを持つ対称的表面状態の導出が可能になった。

ABSTRACT

Electric-magnetic duality ($S$-duality) is a well-known property of pure $u(1)$ gauge theory in 3+1 dimensions. In this paper, we investigate the compatibility of this duality with time-reversal symmetry. We consider two theories obtained by coupling a Dirac fermion with an "inverted" sign of the mass $m$ to a $u(1)$ gauge field. Time-reversal in the two theories is implemented respectively via the $T$ and $CT$ symmetries of the Dirac fermion. It was recently conjectured (C. Wang and T. Senthil (arXiv:1505.03520), and M. Metlitski and A.Vishwanath (arXiv:1505.05142)) that in the $|m| o \infty$ limit these two theories are $S$-dual to each other. We provide support for this conjecture by studying partition functions of the two theories on non-orientable manifolds as a way to probe the realization of time-reversal. Upon integrating out the Dirac fermion, topological terms in the actions of the two theories are generated. While on an orientable manifold topological terms in both theories reduce to a $θ$-term with $θ= π$, on a non-orientable manifold they are distinct. We explicitly compute partition functions of the two theories on the manifold $\mathbb{RP}^4$ and show that they are equal; this result combined with certain physical arguments is sufficient to establish the duality. The two theories can be viewed as a gauged topological insulator in class AII and a gauged topological superconductor in class AIII, and the bulk duality allows us to derive previously conjectured non-trivial symmetric gapped surface states of these phases.

研究の動機と目的

• θ=πを伴うU(1)ゲージ理論におけるS双対性と時間反転対称性の整合性を調査すること。
• 時間反転対称性の実装方法（T対称性とCT対称性）が異なる2つのU(1)ゲージ理論が、|m|→∞極限においてS双対であるという予想を検証すること。
• バルクの双対性を用いて、トポロジカル絶縁体および超伝導体の非自明な対称的ギャップを持つ表面状態を導出すること。
• 特にRP⁴を用いた非可定向多様体上での分配関数の計算を通じて、時間反転対称性の実装方法を調べ、双対性を確認すること。

提案手法

• 非可定向多様体上での質量mを有するディラックフェルミオンの分配関数を計算し、T対称性とCT対称性の両方の時間反転対称性実装を区別する。
• ディラックフェルミオンを統合することで、有効作用にトポロジカル項を生成し、可定向多様体上では両者ともθ=πに還元されるが、非可定向多様体上では異なる項が得られることを示す。
• RP⁴を用いて2つの理論の分配関数を計算・比較し、S双対性の下で等価であることを示す。
• 分配関数とトポロジカル不変量との関係を求めるために、リードマイスターねじれと解析的ねじれの技法を適用する。
• 正規直交基底と整数係数コホモロジー基底を用いたチェーバー＝ミュラー定理を用い、リードマイスターねじれと解析的ねじれを等価とみなす。
• S双対性の下で分配関数が一致することを示し、物理的整合性とトポロジカル不変性の両面から双対性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θ=πを伴うU(1)ゲージ理論で、時間反転対称性がT対称性またはCT対称性によって実現される2つの理論が、|m|→∞極限においてS双対であるか？
• RQ2 非可定向多様体上での時間反転対称性の実装方法（T対称性対CT対称性）が異なる場合、U(1)ゲージ理論のトポロジカル項はどのように異なるか？
• RQ3 RP⁴上での分配関数を用いることで、θ=πを伴うフェルミオン的U(1)ゲージ理論におけるS双対性を検証可能か？
• RQ4 この文脈において、リードマイスターねじれは非可定向多様体上での分配関数の計算にどのように寄与するか？
• RQ5 非可定向時空上でのバルクS双対性から、トポロジカル絶縁体と超伝導体の双対性はどのように生じるか？

主な発見

• 時間反転対称性の実装方法（T対称性対CT対称性）が異なるθ=πの2つのU(1)ゲージ理論の分配関数は、RP⁴上で計算した結果、等しくなる。
• この等価性は、非可定向多様体上では異なるトポロジカル項を持つにもかかわらず、2つの理論がS双対であるという予想に対する強い証拠を提供する。
• 双対性により、クラスAIIのゲージ化トポロジカル絶縁体がクラスAIIIのゲージ化トポロジカル超伝導体とS双対であることが確認された。
• 計算により、RP⁴上での有効作用は、リードマイスターねじれを通じてコホモロジーのねじれを正しく捕捉しており、トポロジカル不変量を適切に表現している。
• この結果は、これらのトポロジカル位相に非自明な対称的ギャップを持つ表面状態が存在することを示唆しており、以前の予想と整合的である。
• チェーバー＝ミュラー定理による正当化のもと、解析的ねじれとリードマイスターねじれの精密な一致により、S双対性の下での分配関数の等価性が確立された。