[論文レビュー] s-Inversion Sequences and P-Partitions of Type B

William Y. C. Chen, Alan J. X. Guo+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、SavageとVisontaiが提起した予想を証明する。すなわち、多重集合 {1², 2², ..., n²} 上の符号付き順列における降下数は、s = (1,4,3,8,5,12,...) に対する長さ 2n の s-逆順列における上昇数と等分布である。型 B P-分割と母関数を用いて、符号付きラベル付き森の線形拡張とこれらの符号付き順列の間の双対写像を構成し、等分布性を確認するとともに、型 B 順列における降下統計量の母関数に対する新しい組合せ的解釈を提供する。

ABSTRACT

Given a sequence $s=(s_1,s_2,\ldots)$ of positive integers, the inversion sequences with respect to $s$, or $s$-inversion sequences, were introduced by Savage and Schuster in their study of lecture hall polytopes. A sequence $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ of nonnegative integers is called an $s$-inversion sequence of length $n$ if $0\leq e_i < s_i$ for $1\leq i\leq n$. Let I(n) be the set of $s$-inversion sequences of length $n$ for $s=(1,4,3,8,5,12,\ldots)$, that is, $s_{2i}=4i$ and $s_{2i-1}=2i-1$ for $i\geq1$, and let $P_n$ be the set of signed permutations on $\{1^2,2^2,\ldots,n^2\}$. Savage and Visontai conjectured that when $n=2k$, the ascent number over $I_n$ is equidistributed with the descent number over $P_k$. For a positive integer $n$, we use type $B$ $P$-partitions to give a characterization of signed permutations over which the descent number is equidistributed with the ascent number over $I_n$. When $n$ is even, this confirms the conjecture of Savage and Visontai. Moreover, let $I'_n$ be the set of $s$-inversion sequences of length $n$ for $s=(2,2,6,4,10,6,\ldots)$, that is, $s_{2i}=2i$ and $s_{2i-1}=4i-2$ for $i\geq1$. We find a set of signed permutations over which the descent number is equidistributed with the ascent number over $I'_n$.

研究の動機と目的

• SavageとVisontaiが提起した、特定の s-列に対して、{1², 2², ..., n²} 上の符号付き順列における降下数と長さ 2n の s-逆順列における上昇数の等分布性に関する予想を解決すること。
• s-逆順列の理論を拡張し、それを型 B P-分割および符号付き順列の母関数と結びつけること。
• 符号付きラベル付き森の線形拡張と型 B 順列における降下統計量との間の組合せ的関係を確立すること。
• s-逆順列との等分布性を用いて、符号付き順列における降下数の母関数の実根性の新たな証明を提供すること。

提案手法

• s = (1,4,3,8,5,12,...) に対して、制約 0 ≤ e_i < s_i を満たす s-逆順列を定義し、上昇数を e_i/s_i < e_{i+1}/s_{i+1} を満たす添え字 i の個数として定義する。
• 型 B P-分割を用いて、降下数が s-逆順列の上昇数と等分布である符号付き順列を特徴付ける。
• 多重集合 {1², 2², ..., n²} 上の符号付き順列における降下数の母関数を構成し、長さ 2n の s-逆順列における上昇数の母関数と関連付ける。
• ラベル付き木構造 T_i 及びそれらの符号付きラベル付けを用いて、符号付きラベル付き森の線形拡張と P_n に属する符号付き順列との間で降下を保つ双対写像を構成する。
• SavageとSchusterが示した f_n^{(s)}(t) と s-逆順列の上昇母関数との関係を用いた母関数の恒等式を適用し、等分布性の結果を導出する。
• 両者が (t+1)^n(2t+1)^n を含む同一の関数方程式を満たすことを示すことにより、P_n における降下数の母関数が I_{2n} における上昇数の母関数と等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s = (1,4,3,8,5,12,...) に対して、多重集合 {1², 2², ..., n²} 上の符号付き順列における降下数が、長さ 2n の s-逆順列における上昇数と等分布であるか。
• RQ2 型 B P-分割を用いて、降下数が s-逆順列の上昇数と一致する符号付き順列を特徴付けることができるか。
• RQ3 P_n における降下数の母関数が、I_{2n} における上昇数の母関数と同一の関数方程式を満たすか。
• RQ4 符号付きラベル付き森の線形拡張と P_n に属する符号付き順列との間の双対写像を用いて、等分布性を証明できるか。

主な発見

• 符号付き順列の集合 P_n における降下数は、s = (1,4,3,8,5,12,...) に対する長さ 2n の s-逆順列の集合 I_{2n} における上昇数と等分布であり、SavageとVisontaiの予想 1.1 を確認した。
• P_n における降下数の母関数 P_n(x) と I_{2n} における上昇数の母関数 I_{2n}(x) は等しく、両者とも (t+1)^n(2t+1)^n を含む同一の関数方程式を満たす。
• s' = (2,2,6,4,10,6,...) に対する s-逆順列における上昇数の母関数が ∑_{e∈I'_{2n}} x^{asc(e)} = I_{2n}(x) を満たすことが示され、2つの異なる s-列がその上昇母関数を通じて関連づけられた。
• 証明により、P_n における降下数の母関数が、符号付きラベル付き森 F_n' の線形拡張における降下数の母関数と等しいことが示された。この母関数は (1-x)^{-2n} に、t に関する和 ∑_t (t+1)^{n-1}(2t+1)^n x^t を乗じた形で表される。
• ∑_{w∈L(F_n')} Ω_{F_n'}(w,t) = (t+1)^{n-1}(2t+1)^n が成り立ち、これにより関数方程式が確認され、等分布性の証明が完成した。