[論文レビュー] $S$-secondary submodules of a module

F. Farshadifar|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2020

Rings, Modules, and Algebras参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可換環 $R$ 上の加群における $S$-二次的部分加群を導入し、それらの性質を調査する。これは、二次的加群および $S$-第二加群の一般化である。本稿では、消滅子条件および $s$-冪を用いた $S$-二次的部分加群の同値な特徴づけを確立し、有限生成かつ余乗法的（comultiplication）な仮定の下で、$S$-二次的加群と $S$-素的加群が $Z_R(M) = W_R(M) = \sqrt{\text{Ann}_R(M)}$ を満たすことを証明する。主な貢献は、$S$-二次的構造が加群内の消滅子および零因子の振る舞いと結びつく統一的な枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Let R be a commutative ring with identity, S be a multiplicatively closed subset of R, and let M be an R-module. The aim of this paper is to introduce the notion of S-secondary submodules of M as a generalization of secondary submodules of M and investigate some properties of this class of submodules.

研究の動機と目的

• 可換環 $R$ の加群 $M$ とその乗法的閉集合 $S \subseteq R$ に対して、$S$-二次的部分加群を導入することで、二次的部分加群の概念を一般化すること。
• 部分加群が $S$-二次的であるための同値条件を確立すること、特に消滅子および $s$-冪を含むもの。
• 有限生成かつ余乗法的加群の文脈において、$S$-二次的部分加群と $S$-素的部分加群の関係を調査すること。
• 有限生成余乗法的加群において、零因子の集合 $Z_R(M)$ と非全射乗法的元の集合 $W_R(M)$ が $\sqrt{\text{Ann}_R(M)}$ と一致する条件を特徴づけること。

提案手法

• ある固定された $s \in S$ を用いて、すべての $r \in R$ に対して、$srN = sN$ またはある $t \in \mathbb{N}$ に対して $(sr)^t N = 0$ が成り立つことによって $S$-二次的部分加群を定義する。
• 部分加群 $K$、完全不可約部分加群 $L$、およびイデアル $J$ を含む条件の同値性を用いて、$S$-二次的部分加群を特徴づける。
• 局所化および消滅子の技法を用い、特に有限生成加群の文脈で $S^{-1}N \subseteq S^{-1}K$ が $sN \subseteq K$（ある $s \in S$）を意味することを活用する。
• すべての部分加群があるイデアル $I$ に対して $IM$ の形に書けるという余乗法的加群の性質を用い、部分加群と消滅子を関連付ける。
• 例えば $1 - x \in \text{Ann}_R(M)$（$x \in (saM:_{R}M)$ に対して）であるようなイデアル論理の結果を応用し、矛盾を導いて消滅子の等式を証明する。
• 極大イデアルと、$\mathfrak{M}$ に属さないが $s_{\mathfrak{M}}M \subseteq L$ を満たす要素 $s_{\mathfrak{M}}$ の集合 $\Omega$ を構成することで、$M = L$ が示され、したがって $M$ がコタージョンフリーであることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた乗法的閉集合 $S \subseteq R$ に対して、$R$-加群 $M$ の部分加群 $N$ がいつ $S$-二次的と呼ばれるか？
• RQ2 消滅子および要素の冪を含む、$S$-二次的部分加群を特徴づける同値な代数的条件は何か？
• RQ3 有限生成余乗法的加群 $M$ に対して、$Z_R(M) = W_R(M) = \sqrt{\text{Ann}_R(M)}$ が成り立つのはどのような条件下か？
• RQ4 $S$-二次的加群と $S$-素的加群の関係は、乗法的および余乗法的加群の文脈でどのように規定されるか？
• RQ5 有限生成余乗法的加群のすべての非ゼロ部分加群が $S$-二次的であることは可能か？ そしてこれは加群の零因子および消滅子構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $R$-加群 $M$ が $S$-二次的であることの必要十分条件は、ある $s \in S$ が存在して、すべての $r \in R$ に対して、$srN = sN$ またはある $t \in \mathbb{N}$ に対して $(sr)^t N = 0$ が成り立つことである。これは明確な操作的基準を提供する。
• すべての $S$-第二部分加群は $S$-二次的であるが、逆は一般には成り立たない。例として、$S = \mathbb{Z} \setminus 2\mathbb{Z}$ としたときの $\mathbb{Z}$-加群としての $\mathbb{Z}_4$ が挙げられる。
• 有限生成余乗法的 $R$-加群 $M$ で $\sqrt{\text{Ann}_R(M)} \cap S = \emptyset$ を満たすとき、すべての非ゼロ部分加群が $S$-二次的であれば、$W_R(M) = \sqrt{\text{Ann}_R(M)}$ が成り立つ。これは非全射乗法的元の集合が消滅子の根基と一致することを示す。
• 有限生成乗法的 $R$-加群 $M$ のすべての真部分加群が $S$-素的であれば、$Z_R(M) = \sqrt{\text{Ann}_R(M)}$ が成り立つ。これは零因子集合が消滅子の根基と一致することを示している。
• 有限生成乗法的かつ余乗法的 $R$-加群 $M$ で $\sqrt{\text{Ann}_R(M)} \cap S = \emptyset$ を満たすとき、以下の三つの条件—すべての非ゼロ部分加群が $S$-二次的であること、すべての真部分加群が $S$-素的であること、$Z_R(M) = W_R(M) = \sqrt{\text{Ann}_R(M)}$ であること—は同値である。
• $S = \mathbb{Z} \setminus p\mathbb{Z}$ のときの例 $\mathbb{Z}_{p^n}$ は、すべての非ゼロ部分加群が $S$-二次的でないし、すべての真部分加群が $S$-素的ではないことを示しており、主定理における仮定の必要性を示している。