[論文レビュー] S-Structures for k-linear categories and the definition of a modular functor

Ulrike Tillmann|ArXiv.org|Feb 18, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、k線型圏におけるS構造を導入し、モジュラー関手を定義する統一的枠組みを提示する。トポロジカル量子場理論およびモジュラー関手の公理が、曲面の幾何から自然に生じることを示し、表面のカテゴリが作用する任意のk線型圏が、必然的に半単純かつアルティン的であることを証明する。これにより、位相的原理から代数的構造が導かれることが明らかになる。

ABSTRACT

Motivated by ideas from string theory and quantum field theory new invariants of knots and 3-dimensional manifolds have been constructed from complex algebraic structures such as Hopf algebras (Reshetikhin and Turaev), monoidal categories with additional structure (Turaev and Yetter), and modular functors (Walker and Kontsevich). These constructions are very closely related. We take a unifying categorical approach based on a natural 2-dimensional generalization of a topological field theory in the sense of Atiyah and Segal, and show that the axioms defining these complex algebraic structures are a consequence of the underlying geometry of surfaces. In particular, we show that any linear category over a field with an action of the surface category is semi-simple and Artinian.

研究の動機と目的

• ホップ代数、モノイダル圏、モジュラー関手から得られる不変量の多様な構成を、1つの圏的枠組みで統一すること。
• S構造の導入により、トポロジカル量子場理論およびモジュラー関手における代数的公理の幾何的起源を明確にすること。
• 表面カテゴリの作用がk線型圏に与えられるとき、半単純性とアルティン的性質が自然に生じることを確立すること。
• 表面の幾何と2次元場理論に結びつけることにより、モジュラー関手の厳密な圏的基盤を提供すること。

提案手法

• アティヤ＝セゴールのトポロジカル場理論の2次元的一般化として、k線型圏におけるS構造の概念を導入する。
• 表面カテゴリの作用を定義し、表面およびそのコーボーディズムを射として扱う。
• 表面の幾何的構造を用いて、半単純性やアルティン的性質といったカテゴリの代数的制約を導出する。
• 圏論的およびホモロジー的技法を適用し、カテゴリが有限長の単純対象に分解されることを示す。
• モジュラー関手および関連する代数的構造の公理が、恣意的ではなく、基礎となる位相から生じることを示す。
• 幾何的位相および圏論の結果を活用し、表面カテゴリの作用が有限性と半単純性を強制することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー関手および関連する代数的不変量は、どのようにして曲面の幾何的原理から体系的に導出可能か？
• RQ2 モジュラー関手およびトポロジカル量子場理論の公理の背後にある圏的構造は何か？
• RQ3 なぜk線型圏に表面カテゴリの作用が与えられるとき、それが必然的に半単純かつアルティン的になるのか？
• RQ4 ホップ代数やモノイダル圏の公理は、どの程度、代数的に強制されるのではなく、位相的データから生じるのか？
• RQ5 3次元多様体および絡み目の量子不変量の共通する代数的特徴を説明する統一的枠組みを構築可能か？

主な発見

• 表面カテゴリの作用を備えた任意のk線型圏は、必然的に半単純である。
• 同じ圏はアルティン的でもあり、すべての対象が有限長を持つ。
• モジュラー関手および関連構造の公理は、恣意的ではなく、2次元コーボーディズムの幾何から生じる。
• S構造フレームワークは、アティヤ＝セゴールのトポロジカル場理論の自然な2次元的一般化である。
• この構成により、量子不変量の代数的性質が、表面の位相的制約から生じることが明らかになる。
• 結果として、幾何的位相と量子場理論における代数的構造の表現論の深い結びつきが確立される。