[論文レビュー] Saccharinity with ccc

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、クリーチャー forcing 技術を用いて、Suslin ccc forcing の概念を構築し、ZFC が ZF + 'すべての実数の集合は $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可測' + '可換な $\omega_1$-列の異なる実数が存在する' と等価な証明可能性を持つことを示す。不動点の基数を必要とせず、forcing の概念は非スイート的かつ非一様的であるが、ccc を保存し、すべての定義可能な集合が理想に関して Borel であることを保証し、$AC_{\aleph_0}$ を破壊するモデルにおいても強い正則性性質を達成する。

ABSTRACT

Using creature technology, we construct families of Suslin ccc non-sweet forcing notions $\mathbb Q$ such that $ZFC$ is equiconsistent with $ZF+$"every set of reals equals a Borel set modulo the $(\leq \aleph_1)$-closure of the null ideal associated with $\mathbb Q$"+"there is an $ω_1$-sequence of distinct reals". This answers a question of the second author and Kellner. As an application of independent interest, we also show how our forcing adds a new $Π^1_2$ singleton over $L$ without relying on $L$-combinatorics.

研究の動機と目的

• ZFC と 'すべての実数の集合は $I_{\mathbb{Q},\kappa}$-可測' が成り立つ ZF の一致性強度を、$\kappa = \aleph_1$ の場合に分類すること。
• 不動点の基数や 'スイート性' の仮定なしに、このような正則性性質を達成できるかどうかを調査すること。
• 非スイート的で、Suslin であり、ccc である forcing の概念を構築し、すべての実数の集合が $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可測であるモデルを得ること。
• 非整列的反復とクリーチャー forcing が、完全な選択公理を欠くモデルにおける一様性と正則性を達成する役割を調査すること。

提案手法

• RoSh470 および RoSh628 におけるクリーチャー forcing 技術を用い、有限分岐木と後続へのノルムを持つパラメータ化された forcing の概念 $\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^1$ および $\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^2$ を定義する。
• 非整列的線形順序を反復に組み込むことで、個々の forcing の概念が非一様的であっても強い一様性を達成する。
• generic 実数を加える forcing の概念 $\mathbb{Q}$ に関連する理想 $I_{\mathbb{Q},\kappa}$ を定義し、Lebesgue および Baire 性質を一般化する。
• パラメータの '遠く' を定義し、generic 実数の独立性を保証するとともに、拡張における分布を制御する。
• コンパクト性の議論を適用し、$\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^2$ において最大反鎖集合であることは Borel 性質であることを証明し、定義可能性を保証する。
• 地面モデルで非構成的選択公理を用いて $\omega_1$-列の異なる実数を得る。ccc 性質により、拡張においてもこの列が保存される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ccc forcing の概念に対して、'すべての実数の集合は $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可測' であるという仮定の一致性強度を不動点の基数未満にまで低下させることは可能か？
• RQ2 特に非スイート的 ccc forcing の文脈で、'スイート性' の仮定なしにこのような正則性を達成することは可能か？
• RQ3 $AC_{\aleph_0}$ を破壊するモデルにおいて、ZF + 'すべての実数の集合は $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可測' + '異なる $\omega_1$-列の実数が存在する' を満たすモデルを構成できるか？
• RQ4 非整列的反復は、非一様的 forcing の構成において一様性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 同様の結果を理想 $I_{\mathbb{Q},\aleph_0}$ に拡張できるか、それとも $\aleph_1$-に基づく理想が本質的か？

主な発見

• 論文は、クリーチャー forcing を用いて、非スイート的かつ非一様的であるが、ccc を保存する Suslin ccc forcing の概念 $\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i$ を構築した。
• ZFC が ZF + 'すべての実数の集合は $I_{\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i,\aleph_1}$-可測' + '異なる $\omega_1$-列の実数が存在する' と等価証明可能であることを証明した。
• 構築されたモデルは ZF + '$I_{\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i,\aleph_1}$ を法とする定義可能な集合はすべて Borel である' を満たすが、$AC_{\aleph_0}$ を満たさない。これは、より細かい一致性強度分類を示している。
• forcing の概念により、すべての generic 実数が条件のトランクによって明示的に決定され、反復に含まれる以外の新しい実数は追加されない。
• 反復順序の cofinality は $>\aleph_1$ であるため、すべての generic 実数が理想からの $\aleph_1$ 個の Borel 集合で被覆されない。
• 結果として、$\omega_1$-列の異なる実数の存在は、すべての集合の Lebesgue 可測性に反するが、強い正則性性質と両立可能であることが示された。