[論文レビュー] Safety and Liveness of Quantitative Automata

Udi Boker, Thomas A. Henzinger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Formal Methods in Verification被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限語の性質における定量的安全性およびライブネスの形式的枠組みを導入し、部分的に順序付けられた値ドメインを用いた定量的設定に、古典的なブール論理的安全性・ライブネスの概念を一般化する。本稿では、一般的な定量的オートマトン（Inf, Sup, LimInf, LimSup, LimInfAvg, LimSupAvg, DSum）における安全性和およびライブネスの意思決定手順を提供し、安全閉包を構築し、安全およびライブなオートマトンへの最小分解を確立する。すべてのアルゴリズムは、調査されたクラスにおいて多項式時間で実行される。

ABSTRACT

Safety and liveness stand as fundamental concepts in formal languages, playing a key role in verification. The safety-liveness classification of boolean properties characterizes whether a given property can be falsified by observing a finite prefix of an infinite computation trace (always for safety, never for liveness). In the quantitative setting, properties are arbitrary functions from infinite words to partially-ordered domains. Extending this paradigm to the quantitative domain, where properties are arbitrary functions mapping infinite words to partially-ordered domains, we introduce and study the notions of quantitative safety and liveness. First, we formally define quantitative safety and liveness, and prove that our definitions induce conservative quantitative generalizations of both the safety-progress hierarchy and the safety-liveness decomposition of boolean properties. Consequently, like their boolean counterparts, quantitative properties can be min-decomposed into safety and liveness parts, or alternatively, max-decomposed into co-safety and co-liveness parts. We further establish a connection between quantitative safety and topological continuity and provide alternative characterizations of quantitative safety and liveness in terms of their boolean analogs. Second, we instantiate our framework with the specific classes of quantitative properties expressed by automata. These quantitative automata contain finitely many states and rational-valued transition weights, and their common value functions Inf, Sup, LimInf, LimSup, LimInfAvg, LimSupAvg, and DSum map infinite words into the totally-ordered domain of real numbers. For all common value functions, we provide a procedure for deciding whether a given automaton is safe or live, we show how to construct its safety closure, and we present a min-decomposition into safe and live automata.

研究の動機と目的

• ブール論理から定量的性質への古典的安全性・ライブネス双対性の拡張、ここで値は部分的に順序付けられたドメインからとられる。
• ブール論理の概念を保存的に一般化し、位相的および論理的性質を保つように、定量的安全性およびライブネスを定義し、特徴づけること。
• 一般的な定量的オートマトン（Inf, Sup, LimInf など）におけるフレームワークの具体化と、安全性和およびライブネスの意思決定手順の提供。
• 各値関数に対して安全閉包および安全およびライブなオートマトンへの最小分解を構築すること。
• 定量的安全性と位相的連続性との関係を確立し、これらのオートマトンクラスにおける定数関数問題を解くこと。

提案手法

• 定量的安全性を、任意の誤った仮説 Φ(w) ≥ v が有限な接頭辞の後で拒否可能である性質として定義し、定量的ライブネスを、いかなる有限接頭辞に対しても拒否できない誤った仮説が存在する性質として定義する。
• しきい値的安全性および位相的連続性を代替的特徴づけとして導入し、定量的安全性をカントール位相における連続性に関連付ける。
• サイクル検出および重み変換技術を用いて、到達可能なすべての値の上界を捉える安全閉包オートマトン C を構築する。
• 各値関数（例：LimInfAvg）に対して、カープのアルゴリズムまたは深さ優先探索を用いて最大サイクル平均または最大値を計算し、効率的な安全性和およびライブネスの検査を可能にする。
• 任意のオートマトン A を、その安全閉包である安全成分 B とライブ成分 C に分解する手順を設計し、すべての無限語 w に対して A(w) = min(B(w), C(w)) が成り立つようにする。
• 状態空間の拡張（コピー状態およびシンク状態の導入）を用いて、C の安全閉包が定数（A の最大値に等しい）であることを示し、C がライブであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的安全性・ライブネス二分法は、無限語から部分的に順序付けられたドメインへの値写像を伴う定量的性質へどのように一般化できるか？
• RQ2 定量的安全性およびライブネスの位相的および論理的特徴づけは何か？ 連続性および双対性とどのように関係するか？
• RQ3 一般的な定量的オートマトン（Inf, Sup, LimInf など）に対して、与えられたオートマトンが安全またはライブであるかどうかをどのように決定できるか？
• RQ4 任意の定量的オートマトンに対して安全閉包を構築可能か？ そしてそれは最良の安全近似であるか？
• RQ5 任意の定量的オートマトンは、安全およびライブな成分に分解可能か？ もしそうなら、どの程度の効率で可能か？

主な発見

• 本稿は、ブール論理的安全性・ライブネス階層を定量的性質へ保存的に一般化し、安全およびライブネス成分への最小分解を保つことを確立した。
• 調査されたすべての値関数（Inf, Sup, LimInf, LimSup, LimInfAvg, LimSupAvg, DSum）に対して、オートマトンの安全性和およびライブネスは多項式時間で決定可能である。
• 定量的オートマトンの安全閉包は多項式時間で構築可能であり、元のオートマトンの最良の安全近似である。
• 安全オートマトン（安全閉包）とライブオートマトンへの最小分解は常に可能であり、すべての w ∈ Σω に対して A(w) = min(B(w), C(w)) が成り立つ。
• ライブネス成分 C は、コピー状態およびシンク状態を追加することで構築され、すべての有限走査が最大値に達するように拡張される。
• このフレームワークにより、調査されたオートマトンクラスにおける定数関数問題が解決され、オートマトンが常に同じ値を出力するかどうかの効率的検証が可能になった。