[論文レビュー] Salem numbers in dynamics of Kähler threefolds and complex tori

Keiji Oguiso, Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、コンpact Kähler 3-fold および複素トーラス上の擬自己同型写像に関して、1番目の力学的次元がセーレム数であるならば、力学的次元に特定の制約が生じることを確立している。3次元では λ₁(f) = λ₂(f) であり、4次元では λ₁(f) = λ₃(f) または λ₁(f)² = λ₂(f) である。主な貢献は、複素3次元トーラスに関して、λ₁(f) > 1 である自己同型写像が、λ₁(f) がセーレム数であることと同値に、f-不変のファイブレーションをもつことである。ただし、ピカール数が 0, 3, 9 であっても λ₁(f) がセーレム数でない場合には反例が存在する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kähler manifold of dimension $k\leq 4$ and $f:X ightarrow X$ a pseudo-automorphism. If the first dynamical degree $λ_1(f)$ is a Salem number, we show that either $λ_1(f)=λ_{k-1}(f)$ or $λ_1(f)^2=λ_{k-2}(f)$. In particular, if $\mbox{dim}(X)=3$ then $λ_1(f)=λ_2(f)$. We use this to show that if $X$ is a complex 3-torus and $f$ is an automorphism of $X$ with $λ_1(f)>1$, then $f$ has a non-trivial equivariant holomorphic fibration if and only if $λ_1(f)$ is a Salem number. If $X$ is a complex 3-torus having an automorphism $f$ with $λ_1(f)=λ_2(f)>1$ but is not a Salem number, then the Picard number of $X$ must be 0,3 or 9, and all these cases can be realized.

研究の動機と目的

• コンパクト Kähler 多様体の次元が 3 または 4 である場合に、擬自己同型写像が非自明な不変のメルモルフィックファイブレーションをもつ条件を同定すること。
• 複素3次元トーラス上の自己同型写像の文脈において、セーレム数が果たす力学的役割を明確化すること。
• λ₁(f) = λ₂(f) > 1 を満たすが非自明な f-不変ファイブレーションをもたない3次元トーラスのピカール数に関する制約を特徴づけること。
• 複素3次元トーラスに関して、質問2 (ii) を肯定的に解決する。具体的には、λ₁(f) がセーレム数であることから、f-不変の正則ファイブレーションが存在することを証明すること。

提案手法

• 力学的次元の理論と写像 f* がコホロジー上に誘導する作用を用いてスペクトル性質を分析する。
• Perron-Frobenius 定理を適用して、H^{1,1}(X) 上での f* の λ₁(f) が支配的固有値であることを示す。
• f* の特性多項式のガロア群解析を用いてピカール数を制約し、ファイブレーションの不在を検出する。
• 特定の根分布を持つ多項式を用いて、λ₁(f) = λ₂(f) > 1 だが非自明な f-不変ファイブレーションをもたない3次元トーラスの具体的な例を構成する。
• 特性多項式の分解体を用いて、ガロア群の構造からピカール数を特定する。
• Voisin よりも Diller-Favre の結果を応用し、力学的次元とファイブレーションに関する必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト Kähler 3-fold における擬自己同型写像 f に対して、λ₁(f) = λ₂(f) ならば、必ず非自明な不変メルモルフィックファイブレーションが存在するか？
• RQ2 Kähler 3-fold における擬自己同型写像 f に対して、λ₁(f) がセーレム数ならば、f は必ず非自明な不変メルモルフィックファイブレーションをもつのか？
• RQ3 複素3次元トーラス X に対して、λ₁(f) > 1 を満たす自己同型写像 f が f-不変の正則ファイブレーションをもつ条件は何か？
• RQ4 λ₁(f) = λ₂(f) > 1 を満たすが非自明な f-不変ファイブレーションをもたない複素3次元トーラスの可能なピカール数は何か？
• RQ5 3次元トーラスにおけるファイブレーションのセーレム数条件の逆が成り立つか？

主な発見

• コンパクト Kähler 3-fold における擬自己同型写像 f に対して、λ₁(f) がセーレム数ならば、必然的に λ₁(f) = λ₂(f) である。
• コンパクト Kähler 4-fold における擬自己同型写像 f に対して、λ₁(f) がセーレム数ならば、λ₁(f) = λ₃(f) または λ₁(f)² = λ₂(f) である。
• 複素3次元トーラスにおいて、λ₁(f) > 1 である自己同型写像 f が非自明な f-不変正則ファイブレーションをもつことと、λ₁(f) がセーレム数であることは同値である。
• ピカール数 9 で、λ₁(f) = λ₂(f) > 1 だが非自明な f-不変ファイブレーションをもたない、ある種の射影的3次元トーラスが存在する。
• ピカール数 0 または 3 で、λ₁(f) = λ₂(f) > 1 だが非自明な f-不変ファイブレーションをもたない、非射影的3次元トーラスが存在する。
• λ₁(f) = λ₂(f) > 1 だが非自明な f-不変ファイブレーションをもたない3次元トーラスのピカール数は、0, 3, 9 に限られ、かつすべてのケースが実現可能である。