[論文レビュー] Sample Efficient Algorithms for Learning Quantum Channels in PAC Model and the Approximate State Discrimination Problem

Kai-Min Chung, Han-Hsuan Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Machine Learning and Algorithms参考文献 33被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、量子チャネルのためのPAC学習フレームワークを導入し、2つのサンプル効率の良いアルゴリズムを提案する。1つは純粋状態出力に対して、サンプル複雑度 $ O((\log |C| + \log(1/\delta))/\epsilon^2) $ を達成し、もう1つは混合状態出力に対して、複雑度 $ O((\log^3 |C|)(\log |C| + \log(1\delta))/\epsilon^2) $ を達成する。主な貢献は、近似的な状態同定を介して効率的な量子過程学習を可能にし、構造的設定においてナイーブなトモグラフィーと比較して指数的改善を達成することにある。

ABSTRACT

The probably approximately correct (PAC) model [Leslie G. Valiant, 1984] is a well studied model in classical learning theory. Here, we generalize the PAC model from concepts of Boolean functions to quantum channels, introducing PAC model for learning quantum channels, and give two sample efficient algorithms that are analogous to the classical "Occam’s razor" result [Blumer et al., 1987]. The classical Occam’s razor algorithm is done trivially by excluding any concepts not compatible with the input-output pairs one gets, but such an approach is not immediately possible with a concept class of quantum channels, because the outputs are unknown quantum states from the quantum channel. To study the quantum state learning problem associated with PAC learning quantum channels, we focus on the special case where the channels all have constant output. In this special case, learning the channels reduce to a problem of learning quantum states that is similar to the well known quantum state discrimination problem [Joonwoo Bae and Leong-Chuan Kwek, 2017], but with the extra twist that we allow ε-trace-distance-error in the output. We call this problem Approximate State Discrimination, which we believe is a natural problem that is of independent interest. We give two algorithms for learning quantum channels in PAC model. The first algorithm has sample complexity O((log|C| + log(1/ δ))/(ε²)), but only works when the outputs are pure states, where C is the concept class, ε is the error of the output, and δ is the probability of failure of the algorithm. The second algorithm has sample complexity O((log³|C|(log|C|+log(1/ δ)))/(ε²)), and work for mixed state outputs. Some implications of our results are that we can PAC-learn a polynomial sized quantum circuit in polynomial samples, and approximate state discrimination can be solved in polynomial samples even when the size of the input set is exponential in the number of qubits, exponentially better than a naive state tomography.

研究の動機と目的

• 古典的なPAC学習モデルを量子チャネルへと拡張し、未知の量子過程の効率的学習を可能にすること。
• 出力状態が未知の量子系である場合の量子チャネル学習の課題に取り組み、量子状態同定を活用すること。
• トレース距離誤差を許容する量子状態同定の変種である近似的な状態同定問題を導入し、それを解くこと。
• 出力が純粋状態および混合状態である量子チャネルの学習におけるサンプル複雑度の境界を、出力次元に依存しない形で確立すること。
• 構造的設定において、標準的な量子過程トモグラフィーと比較して指数的サンプル節約を示すこと。

提案手法

• 入力出力ペアのサンプルと整合しない仮説を繰り返し除外することで、古典的なオッカムの剃刀の原則を量子チャネルへ一般化する。
• 出力状態が未知の量子状態であっても、候補となるチャネルが観測された出力状態と整合するかを検証するため、量子状態同定技術を用いる。
• 量子チャネル間の距離度としてトレース距離を用い、入力分布 $ D $ における平均をとる。
• ハイポセシス選択における誤差確率を制御するために、チェルノフの不等式と和集合の不等式を適用する。
• 混合状態の場合、複数の出力状態のコピーから区別情報を抽出するために、再帰的または反復的な測定戦略を用いる。
• ϵ-パッキング・ネットとホールボ情報の境界を活用し、サンプル複雑度に対する情報理論的下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PAC学習フレームワークを古典的概念から量子チャネルへ一般化できるか？
• RQ2 出力状態が未知の量子系である場合、どのようにして量子チャネルを効率的に学習できるか？
• RQ3 純粋状態出力における量子チャネル学習の最適なサンプル複雑度は何か？
• RQ4 混合状態出力における量子チャネル学習の最適なサンプル複雑度は何か？
• RQ5 近似的な状態同定は効率的に解けるか？また、それは量子過程学習とどのように関係するか？

主な発見

• 最初のアルゴリズムは、純粋状態出力に対してサンプル複雑度 $ O((\log |C| + \log(1/\delta))/\epsilon^2) $ を達成し、対数的要因を除いて古典的オッカムの剃刀の境界と一致する。
• 2番目のアルゴリズムは、混合状態出力に対してサンプル複雑度 $ O((\log^3 |C|)(\log |C| + \log(1/\delta))/\epsilon^2) $ を達成し、出力次元に依存しない。
• これらの結果は、$ n $ ビットの多項式サイズの量子回路が $ \text{poly}(n) $ サンプルでPAC学習可能であることを示し、ナイーブなプロセストモグラフィーと比較して指数的改善を達成する。
• 入力集合のサイズがビット数の指数関数的である場合でさえ、近似的な状態同定問題が多項式サンプルで解けることが示された。
• 純粋状態の近似的な同定に対して、下界 $ \Omega((1 - \delta)\ln |C| / \epsilon^2) / \ln(\ln |C| / \epsilon) $ が確立され、上界と対数的要因を除いて一致する。
• $ d $ 次元空間上の古典的分布のアグノスティック学習に対して、サンプル複雑度の下界 $ \Omega(\sqrt{d}) $ が証明され、高次元古典的分布の効率的アグノスティック学習の限界を示唆する。