[論文レビュー] Sample path properties of multivariate operator-self-similar stable random fields

Ercan Sönmez|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、調和表現を用いて多変量作用素自己相似 $\alpha$-安定確率場の標本経路の正則性を確立し、ハウスドルフ次元を計算する。[8] の結果を活用して、連続性のモジュラスの上界を導出し、[25] で提起された標本経路の次元に関する未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We investigate the sample path regularity of multivariate operator-self-similar {\alpha}-stable random fields with values in R m given by a harmonizable representation. Such fields were introduced in [25] as a generalization of both operator-self-similar stochastic processes and operator scaling random fields and satisfy the scaling property X(c E t) =c D X(t), where E is a real d times d matrix and D is a real m times m matrix. By using results in [8] we give an upper bound on the modulus of continuity. Based on this we determine the Hausdorff dimension of the sample paths. In particular, this solves an open problem in [25].

研究の動機と目的

• 多変量作用素自己相似 $\alpha$-安定確率場（値は $\mathbb{R}^m$ にとる）の標本経路の正則性を分析すること。
• [25] で提起された、このような確率場における標本経路のハウスドルフ次元に関する未解決問題を解消すること。
• 既存の理論的結果を用いて、これらの確率場の連続性のモジュラスの上界を確立すること。

提案手法

• 多変量作用素自己相似 $\alpha$-安定確率場を定義するために、調和表現を用いる。
• [8] の結果を適用して、標本経路の連続性のモジュラスの上界を導出する。
• 得られた連続性の境界を用いて、標本経路のフラクタル幾何を分析する。
• 連続性のモジュラス推定値を用いて、標本経路のハウスドルフ次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量作用素自己相似 $\alpha$-安定確率場（値は $\mathbb{R}^m$ にとる）の標本経路の正則性は何か？
• RQ2 スケーリング性 $X(c^E t) = c^D X(t)$ は、これらの場の経路行動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 このような場の標本経路のハウスドルフ次元は何か？ そして、どのように計算できるか？
• RQ4 連続性の境界を用いることで、[25] における経路次元に関する未解決問題を解消できるか？

主な発見

• [8] の理論的結果を活用して、標本経路の連続性のモジュラスの上界が確立された。
• 導出された連続性の境界に基づき、標本経路のハウスドルフ次元が計算された。
• 本研究は、[25] における多変量作用素自己相似 $\alpha$-安定場の標本経路の次元に関する未解決問題を解消した。
• 結果から、経路の正則性および幾何的次元が、スケーリング行列 $E$ と $D$ によって支配されることを確認した。