[論文レビュー] Sampling in reproducing kernel Banach spaces on Lie groups

Jens Gerlach Christensen|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、核の積分可能性条件を導出に基づく滑らかさ仮定に置き換えることで、リー群上の再生核バナッハ空間におけるサンプリング定理を確立する。主な貢献は、循環表現から得られる共軌空間におけるフレームおよびアトミック分解を構築する枠組みを提供することである。特に、循環ベクトルが平方可積分表現のガーディングベクトルである場合に特に有効である。

ABSTRACT

We present sampling theorems for reproducing kernel Banach spaces on Lie groups. Recent approaches to this problem rely on integrability of the kernel and its local oscillations. In this paper we replace the integrability conditions by requirements on the derivatives of the reproducing kernel. The results are then used to obtain frames and atomic decompositions for Banach spaces of distributions stemming from a cyclic representation, and it is shown that this is particularly easy, when the cyclic vector is a Gårding vector for a square integrable representation.

研究の動機と目的

• 再生核バナッハ空間のサンプリング理論を、核の積分可能性に依存せずに構築すること。
• 核の積分可能性および振動条件を、再生核における導出に基づく滑らかさ仮定に置き換えること。
• リー群の循環表現から生じる共軌空間におけるフレームおよびアトミック分解の結果を確立すること。
• 平方可積分表現のガーディングベクトルが自然に安定なサンプリング列および再構成をもたらすことを示すこと。

提案手法

• ワイアーリングの不等式に代えて、基本定理とバンド制限関数の滑らかさを用いてサンプリング不等式を導出する。
• 再生核の導出の有界性を用いて、核そのものやその振動の積分可能性を要求せずに局所的振動を制御する。
• 共軌理論を用いて、リー群のユニタリ表現における循環ベクトルを用いて分布のバナッハ空間を定義する。
• 異なるガーディングベクトルを用いて定義された共軌空間のノルムが等価であることを確立し、サンプリング枠組みの安定性を保証する。
• 右不変微分作用素 R^α との畳み込みがバナッハ関数空間 B で有界性を保つことを示し、再構成を可能にする。
• B 上での畳み込み作用素の連続性を用いて、サンプリング列 {π(x_i)ũ} が共軌空間におけるバナッハフレームを形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群上の再生核バナッハ空間におけるサンプリング定理は、再生核の積分可能性を仮定せずに確立可能か？
• RQ2 導出に基づく滑らかさ条件は、サンプリング理論において積分可能性および振動仮定をどのように置き換えるか？
• RQ3 平方可積分表現のガーディングベクトルが共軌空間における安定なサンプリング列をもたらす条件は何か？
• RQ4 ガーディングベクトルの軌道におけるサンプリングを用いて、共軌空間にアトミック分解およびフレームを構築可能か？
• RQ5 畳み込み写像 F ↦ F * W_u(u) の連続性が再構成の安定性を保証する役割は何か？

主な発見

• 本稿は、再生核の積分可能性および局所的振動条件を、導出に基づく滑らかさ仮定に置き換えることで、リー群上でのサンプリング定理を確立する。
• 任意の平方可積分表現のガーディングベクトル ũ に対して、サンプリング点 {x_i} が密度条件を満たす限り、集合 {π(x_i)ũ} は共軌空間 Co_S^ũ(B) におけるバナッハフレームを形成する。
• 異なるガーディングベクトルを用いて定義された共軌空間のノルムは等価であり、サンプリング枠組みの堅牢性を保証する。
• f ∈ Co_S^ũ(B) に対する再構成作用素は有界であり、その作用素ノルムは R^αg との畳み込みの連続性および B 内での W_u(u) のノルムによって制御される。
• 循環ベクトル u がガーディングベクトルである場合、写像 F ↦ F * W_u(u) は B 上で連続であり、これによりアトミック分解の存在が保証される。
• 古典的サンプリング定理（例：バンド制限関数）を、L^1 条件の代わりに導出推定を用いることで、積分不可能な核（例：sinc関数）へと一般化する。