[論文レビュー] Sampling recovery and cubature on sparse grids

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Mathematical Approximation and Integration被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、非均一および混合滑らかさBesov空間に属する関数に対するスパースグリッド上での最適線形サンプリング回復および台形積分公式を構築する。特別に設計されたスパースグリッド上でのBスpline準補間を用いて、回復および積分の両方の漸近的誤差率を確立し、明示的な誤差境界を伴う、この設定における最初の最適構成を提供する。

ABSTRACT

Let $X_n = \{x^j\}_{j=1}^n$ be a set of $n$ points in the $d$-cube $[0,1]^d$, and $\Phi_n = \{\varphi_j\}_{j =1}^n$ a family of $n$ functions on $[0,1]^d$. We consider the approximate recovery functions $f$ on $[0,1]^d$ from the sampled values $f(x^1), ..., f(x^n)$, by the linear sampling algorithm \begin{equation} onumber L_n(X_n,\Phi_n,f) := \sum_{j=1}^n f(x^j)\varphi_j. \end{equation} The error of sampling recovery is measured in the norm of the space $L_q([0,1]^d)$-norm or the energy norm of the isotropic Sobolev sapce $W^\gamma_q([0,1]^d)$ for $0 0$. Functions $f$ to be recovered are from the unit ball in Besov type spaces of an anisotropic smoothness, in particular, spaces $B^a_{p, heta}$ of a nonuniform mixed smoothness $a \in {\mathbb R}^d_+$, and spaces $B^{\alpha,\beta}_{p, heta}$ of a hybrid of mixed smoothness $\alpha > 0$ and isotropic smoothness $\beta \in \mathbb R$. We constructed optimal linear sampling algorithms $L_n(X_n^*,\Phi_n^*,\cdot)$ on special sparse grids $X_n^*$ and a family $\Phi_n^*$ of linear combinations of integer or half integer translated dilations of tensor products of B-splines. We computed the asymptotic of the error of the optimal recovery. This construction is based on a B-spline quasi-interpolation representations of functions in $B^a_{p, heta}$ and $B^{\alpha,\beta}_{p, heta}$. As consequences we obtained the asymptotic of optimal cubature formulas for numerical integration of functions from the unit ball of these Besov type spaces.

研究の動機と目的

• d次元立方体上での非一様混合滑らかさを有するBesov空間における関数回復のための最適線形サンプリングアルゴリズムの開発。
• 同じ関数空間における数値積分のための最適台形積分公式の構築。
• サンプリング回復および積分問題の両方における最適誤差の漸近的挙動の確立。
• 最良の収束速度を達成するスパースグリッドおよび関連する再構成関数の設計。
• 等方的Sobolev設定を超えて、非等方的およびハイブリッド滑らかさ空間への最適回復理論の拡張。

提案手法

• 再構成関数として平行移動およびスケーリングされたBスplineの線形結合を用いて最適サンプリングアルゴリズムを構築する。
• 整数または半整数シフトを持つ点から構成されるスパースグリッド $X_n^*$ を用い、関数空間の非均一滑らかさに適合させる。
• Bスpline準補間表現を用いて $B^a_{p, heta}$ および $B^{eta,eta}_{p, heta}$ に属する関数を表現し、安定的かつ高精度な回復を可能にする。
• L_q-ノルムおよびSobolevエネルギーノルムにおけるサンプリングアルゴリズムの誤差を導出し、Besov空間の単位球に対する性能を測定する。
• 再構成作用素を統合することで、サンプリング回復フレームワークを応用し、最適台形積分公式を導出する。
• Bスplineに基づく再構成の近似性質を分析することにより、漸近的誤差公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非均一Besov空間 $B^a_{p, heta}$ に属する関数の線形サンプリング回復の最適収束率は何か、ただし $a \in \mathbb{R}^d_+$ とする。
• RQ2 混合滑らかさBesov空間における数値積分のための最適台形積分公式はどのように構築できるか。
• RQ3 スパースグリッド上での最適サンプリング回復誤差の漸近的挙動は何か。
• RQ4 スパースグリッド上でのBスpline準補間は、これらの関数空間で最良の収束速度を達成できるか。
• RQ5 スパースグリッド構造および再構成関数の選択は、サンプリング回復および積分の誤差にどのように影響するか。

主な発見

• 本稿は、スパースグリッド上での関数空間 $B^a_{p, heta}$ および $B^{eta,eta}_{p, heta}$ における最適サンプリング回復誤差の漸近的順序を確立した。
• 構築されたサンプリングアルゴリズム $L_n(X_n^*, \tilde{oldsymbol{ heta}}_n^*, \cdot)$ は、与えられた滑らかさクラスにおいて最良の収束速度を達成する。
• 漸近的誤差は明示的に計算され、非均一滑らかさパラメータ $a$ および可積分性 $p$ に依存することが示された。
• 同じ構成により、サンプリング回復問題と同一の漸近的誤差率を持つ最適台形積分公式が得られた。
• スパースグリッド上でのBスpline準補間の使用により、安定性および最適近似性質が保証された。
• 結果として、最適回復理論が等方的でないおよびハイブリッド滑らかさ空間へと一般化され、スパースグリッド手法に関する文献における空白を埋めた。