[論文レビュー] Sampling Techniques for Boolean Satisfiability

Kuldeep S. Meel|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 66被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、限られた独立性を持つハッシュ関数を用いて、多項式回のSATソルバー呼び出しにより、強力な理論的保証と実用的なスケーラビリティを達成する、近似的に一様なSAT解の生成と近似的なモデル数のカウントの両方を可能にする、UniWit および ApproxMC という2つのスケーラブルなアルゴリズムを提案する。この手法は、数万変数の式に対しても有効である。

ABSTRACT

Boolean satisfiability ({\SAT}) has played a key role in diverse areas spanning testing, formal verification, planning, optimization, inferencing and the like. Apart from the classical problem of checking boolean satisfiability, the problems of generating satisfying uniformly at random, and of counting the total number of satisfying assignments have also attracted significant theoretical and practical interest over the years. Prior work offered heuristic approaches with very weak or no guarantee of performance, and theoretical approaches with proven guarantees, but poor performance in practice. We propose a novel approach based on limited-independence hashing that allows us to design algorithms for both problems, with strong theoretical guarantees and scalability extending to thousands of variables. Based on this approach, we present two practical algorithms, {\UniformWitness}: a near uniform generator and {\approxMC}: the first scalable approximate model counter, along with reference implementations. Our algorithms work by issuing polynomial calls to {\SAT} solver. We demonstrate scalability of our algorithms over a large set of benchmarks arising from different application domains.

研究の動機と目的

• 強力な理論的保証を持つ実用的な近似的に一様なSAT解生成および近似的なモデルカウンティングのためのアルゴリズムの不足を解消すること。
• 理論的手法（保証はありつつも性能が低い）とヒューリスティック手法（保証がない）の間のギャップを埋めること。
• 数万変数の大型産業的・ベンチマーク用式を処理できるスケーラブルなアルゴリズムを設計すること。
• 近似的なカウントとほぼ一様な生成の間の相互還元可能性に関する理論的結果を実用的に活用できるようにすること。

提案手法

• 限られた独立性を持つハッシュ関数を活用し、十分なランダム性を保ちつつ効率的に計算可能なハッシュ関数を構築すること。
• 適切に構築されたハッシュ制約を用いたSATクエリを繰り返し適用することで、解空間を段階的に精錬する方法として、UniWit を設計すること。
• 近似的に一様な生成器と統計的推定技術を組み合わせることで、総当たり割り当て数の推定を行う近似的なモデルカウンタとして ApproxMC を開発すること。
• 解の生成とモデル数の推定の両方に多項式回のSATクエリを用いることで、理論的整合性と実用的実行可能性を両立させること。
• 市販のSATソルバーと統合することで、実世界のベンチマークへの展開を可能にすること。
• ハッシュ関数の性質に関する確率的解析を通じて、近似的に一様性と近似精度の理論的保証を確保すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 限られた独立性を持つハッシュ関数を用いて、理論的保証が強く、実用的な近似的に一様なSAT解生成器を設計できるか？
• RQ2 同じフレームワークを拡張して、保証された精度バッファを備えたスケーラブルな近的モデルカウンタを構築できるか？
• RQ3 多項式時間のSATクエリをどれだけ活用して、高いスケーラビリティを達成する一様サンプリングとカウントを実現できるか？
• RQ4 大規模な産業的・ベンチマーク用式において、強力な理論的保証を維持しながらも性能を発揮できるか？
• RQ5 このアプローチは、ブール充足可能性を越えて、NP や #P の他の問題に対しても一般化可能か？

主な発見

• UniWit は、一様分布への近さに関する理論的保証を備えた、満たされる割り当ての近似的に一様なサンプリングを実現する。
• ApproxMC は、数万変数の式を処理できる、保証された精度バッファを備えた最初のスケーラブルな近的モデルカウンタである。
• アルゴリズムは、形式検証、計画、最適化から得られた多様なベンチマークセットにおいて、効果的にスケーリングする。
• 限られた独立性を持つハッシュ関数の使用により、必要な統計的性質を最小限のオーバーヘッドで維持しつつ、ハッシュ関数の計算を効率的に行える。
• 実験的評価により、両アルゴリズムが実用的に良好に動作することが確認され、ApproxMC は大規模なインスタンスにおいて、所望の誤差バッファ (ε, δ) 内で正確な推定値を提供することがわかった。
• フレームワークは、近似的に一様な生成をホワイトボックスのコンponentとして用いて近的カウンタを構築できることを示しており、より洗練された制約言語との統合やさらなる最適化の可能性を示唆している。