[論文レビュー] Sasaki-Einstein Metrics on S^2 x S^3

Jerome P. Gauntlett, Dario Martelli+2 more|ArXiv.org|Mar 1, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 74

ひとこと要約

本稿では、$D=11$ フォークスラヴィティ解の次元削減とT双対性を用いて、$S^2 \times S^3$ 上に可算無限個の明示的コ・同調度1のサスキー＝アインシュタイン計量を構成する。これらの計量には準正則型と不規則型が含まれ、それぞれが4次元の$ olcc{N}=1$超共形場理論に対応する$AdS_5 \times X_5$解をもたらし、中心的電荷が有理数または無理数である。

ABSTRACT

We present a countably infinite number of new explicit co-homogeneity one Sasaki-Einstein metrics on S^2 x S^3, in both the quasi-regular and irregular classes. These give rise to new solutions of type IIB supergravity which are expected to be dual to N=1 superconformal field theories in four-dimensions with compact or non-compact R-symmetry and rational or irrational central charges, respectively.

研究の動機と目的

• 既知の同調的ケースを超えて、$S^2 \times S^3$ 上に新たな明示的サスキー＝アインシュタイン計量を構成すること。
• $S^2 \times S^3$ 上に準正則型および不規則型の両方のサスキー＝アインシュタイン構造が存在するかを調査すること。
• これらの計量のグローバル性質と、4次元の$ olcc{N}=1$超共形場理論のR対称性構造との対応関係を確立すること。
• 新しい計量の体積を計算し、それらを双対場理論の中心的電荷に関連付けること。

提案手法

• $AdS_5 \times Y^{p,q}$ 構造を持つ、既知の supersymmetric $D=11$ フォークスラヴィティ解から出発し、ここで $Y^{p,q}$ は $S^2 \times S^2$ 上の$U(1)$-バンドルである。
• トーラスの1つの円に沿った次元削減を行い、残りの円でT双対性を適用することで、$AdS_5 \times X_5$ 形式のタイプIIBフォークスラヴィティ解を導出する。
• パラメータ $p$ と $q$ を持つ同調度1のアンザッツを用いて、$S^2 \times S^3$ 上のサスキー＝アインシュタイン計量の明示的線素を導出する。ここで $(p,q)=1$ を満たす。
• Gysin系列とSmaleの定理を用いて、すべての互いに素な整数 $p,q$ に対して、得られる5次元多様体 $Y^{p,q}$ が $S^2 \times S^3$ に微分同相であることを証明する。
• $U(1)$ 動作のグローバル構造を分析し、軌道の安定化部分群に基づいて、計量を正則型、準正則型、不規則型に分類する。
• 各計量の体積を計算し、双対$ olcc{N}=1$超共形場理論の中心的電荷に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^5$ や $T^{1,1}$ の計量を超えて、$S^2 \times S^3$ 上に新たな明示的サスキー＝アインシュタイン計量を構成できるか？
• RQ2 $S^2 \times S^3$ 上に、双対場理論のR対称性が非コンパクトである不規則型サスキー＝アインシュタイン計量が存在するか？
• RQ3 $p,q$ が互いに素な巻き数であるとき、$S^2 \times S^2$ 上の$U(1)$-バンドルとして得られる$Y^{p,q}$ 多様体の位相的分類は何か？
• RQ4 新しいサスキー＝アインシュタイン計量の体積と、双対$ olcc{N}=1$超共形場理論の中心的電荷との関係は何か？
• RQ5 これらの計量上の$U(1)$作用のグローバル構造は、正則型、準正則型、不規則型として完全に分類可能か？

主な発見

• 互いに素な整数 $p$ と $q$ をパrameterとする、可算無限個の明示的コ・同調度1サスキー＝アインシュタイン計量が、$S^2 \times S^3$ 上に構成された。
• 計量には準正則型と不規則型の両方が含まれており、後者は $S^2 \times S^3$ 上で不規則型サスキー＝アインシュタイン構造が初めて知られた例である。
• Gysin系列とSmaleの定理を用いて、すべての互いに素な $p,q$ に対して、$Y^{p,q}$ のトポロジーが $S^2 \times S^3$ に微分同相であることが証明された。
• 各計量の体積が計算され、双対場理論のR対称性がコンパクトか非コンパクトかに応じて、有理数または無理数の体積を示すことが示された。
• 双対$ olcc{N}=1$超共形場理論は、準正則型計量では有理数の中心的電荷を持ち、不規則型計量では無理数の中心的電荷を持つ。
• 本構成により、タイプIIBフォークスラヴィティにおける新たな$AdS_5 \times X_5$解が実現され、新しいR対称性構造を持つAdS/CFT双対の明示的例が得られた。