[論文レビュー] Sasaki manifolds, Kaehler cone manifolds and biharmonic submanifolds

Hajime Urakawa|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Sasaki多様体内の双調和レジェンドリアン部分多様体と、Kähler錐多様体内の双調和ラグランジュ錐多様体の間の対応関係を確立する。錐部分多様体が双調和であるための必要十分条件は、それが調和であることであることを証明し、元の部分多様体が正則双調和であるのは、そのテンション場がヤコビ作用素の非ゼロ固有セクションであり、固有値が部分多様体の次元に等しいときであることを示している。

ABSTRACT

For a Legendrian submanifold $M$ of a Sasaki manifold $N$, we study harmonicity and biharmonicity of the corresponding Lagrangian cone submanifold C(M) of a Kaehler manifold C(N). We show that, if $C(M)$ is biharmonic in C(N), then it is harmonic; and $M$ is proper biharmonic in $N$ if and only if C(M) has a non-zero eigen-section of the Jacobi operator with the eigenvalue $m=dim M$.

研究の動機と目的

• Sasaki多様体内の双調和レジェンドリアン部分多様体と、それに対応するKähler錐多様体内のラグランジュ錐多様体の間の関係を調査すること。
• 錐構成が双調和性を保つ条件を特定し、それを調和性に関連付けること。
• 錐上のヤコビ作用素のスペクトル的性質を用いて、正則双調和レジェンドリアン部分多様体を特徴付けること。
• Takahashi型の固有値定理を、双調和写像とSasaki幾何学の文脈に拡張すること。

提案手法

• Sasaki多様体 $N^{2m+1}$ 内のレジェンドリアン部分多様体 $M^m$ を、Kähler錐 $C(N)$ 内のラグランジュ部分多様体 $C(M)$ に写す錐構成を用いる。
• 双エネルギー汎関数の第一および第二変分公式を適用し、錐写像 $\overline{\varphi}$ の双調和性方程式を導出する。
• 錐写像の引き戻しバンドル上のヤコビ作用素 $J_{\overline{\varphi}}$ を用いて、テンション場の固有セクションを分析する。
• 定数 $J$-断面曲率 $\epsilon$ を持つSasaki空間形式の曲率構造を用い、双調和性方程式を簡略化する。
• ラプラシアンの固有関数に関するTakahashiの定理を適用し、固有値条件を部分多様体の次元 $m$ の観点から再解釈する。
• 写像 $\varphi$ の正則双調和性と、粗ラプラシアン $\overline{\overline{\Delta}}_{\overline{\varphi}}$ に対するテンション場 $\tau(\overline{\varphi})$ が固有値 $m$ の非ゼロ固有セクションであるという条件が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasaki多様体 $N$ 内のレジェンドリアン部分多様体 $M$ のラグランジュ錐部分多様体 $C(M)$ が双調和であるのはどのような条件下か？
• RQ2 Sasaki多様体 $N$ 内のレジェンドリアン部分多様体 $M$ が正則双調和であるのはいつか？
• RQ3 錐写像 $\overline{\varphi}$ の双調和性は、元の写像 $\varphi$ の調和性とどのように関係するか？
• RQ4 標準球 $S^{2m+1}(1)$ 内の正則双調和レジェンドリアン部分多様体を特徴付けるヤコビ作用素のスペクトル的条件は何か？
• RQ5 錐構成を用いて、調和写像のTakahashi型固有値条件を双調和設定に一般化できるか？

主な発見

• 錐部分多様体 $C(M)$ が $C(N)$ 内で双調和であるための必要十分条件は、それが調和であることであり、これは元のレジェンドリアン部分多様体 $M$ が $N$ 内で調和であるときに限り成立する。
• レジェンドリアン部分多様体 $\varphi: M^m \to N^{2m+1}$ が正則双調和であるための必要十分条件は、そのテンション場 $\tau(\overline{\varphi})$ が粗ラプラシアン $\overline{\overline{\Delta}}_{\overline{\varphi}}$ の非ゼロ固有セクションであり、固有値が $m = \dim M$ に等しいことである。
• 標準球 $S^{2m+1}(1)$ の場合、錐写像 $\overline{\varphi}: C(M) \to \mathbb{C}^{m+1}$ に対して $\overline{\overline{\Delta}}_{\overline{\varphi}} \tau(\overline{\varphi}) = m \tau(\overline{\varphi})$ が成り立つのは、$\varphi$ が正則双調和であるときかつそのときに限り成り立つ。
• 写像 $\varphi$ の双調和性は、二つの成分の消滅に等しい：粗ラプラシアンによる平均曲率場の項と、曲率補正された第二基本形式の項。
• 定数 $J$-断面曲率 $\epsilon$ を持つSasaki空間形式に対して、双調和性条件は $\overline{\Delta}_{\varphi} \mathbf{H} = \frac{\epsilon(m+3) + 3(m-1)}{4} \mathbf{H}$ に簡略化され、多様体 $N$ の幾何学と $\mathbf{H}$ のスペクトル的性質を結びつける。
• 本結果はTakahashiの定理を双調和写像に一般化する：最小埋め込みの座標関数がラプラシアンの固有関数で固有値 $m$ を持つように、錐写像のテンション場は同じ固有値 $m$ を持つ粗ラプラシアンの固有セクションである。