[論文レビュー] Sasakian Geometry, Holonomy, and Supersymmetry

Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki|ArXiv.org|Mar 8, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 72被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、Sasaki-Einsteinおよび3-Sasakian多様体の深い幾何的・物理的意義を、そのホロノミー性質と超対称性およびAdS/CFT双対性の関連を通じて確立する。これらの多様体が特殊ホロノミーを持つケーラー錐の基底として現れることを示し、特にAdS₅×S⁵およびAdS₅×T¹,₁双対性を通じてM理論および超重力のテストモデルを提供する。ここではSasaki-Einstein 5-多様体がD3-braneのコンパクト化空間として機能し、双対なヤン・ミルズ理論を生じる。

ABSTRACT

In this expository article we discuss the relations between Sasakian geometry, reduced holonomy and supersymmetry. It is well known that the Riemannian manifolds other than the round spheres that admit real Killing spinors are precisely Sasaki-Einstein manifolds, 7-manifolds with a nearly parallel G2 structure, and nearly Kaehler 6-manifolds. We then discuss the relations between the latter two and Sasaki-Einstein geometry.

研究の動機と目的

• Sasaki-Einsteinおよび3-Sasakian多様体が理論物理学において果たす幾何的役割、特に超対称性およびホロノミーとの中での関係を明確化すること。
• メトリック錐構成を用いてSasakian幾何とケーラー幾何を関連づけ、Sasakian構造がケーラー錐から自然に生じることを示すこと。
• Sasaki-Einstein 5-および7-多様体がM理論および超重力においてコンパクト化空間としてどのように機能するかを、特にAdS/CFT対応を通じて調査すること。
• Sasaki-Einsteinおよび3-Sasakian多様体の錐を用いたG₂およびSpin(7)ホロノミー計量の構成を検討し、特にM理論コンパクト化の文脈で考察すること。
• G₂ホロノミー多様体へのM理論コンパクト化を用いて、これらの幾何の物理的意味、特に統一スケールおよび陽子崩壊の観点から分析すること。

提案手法

• Sasakian多様体を、歪み関数φ(r) = rを用いたメトリック錐構成によりケーラー錐の基底として定義する。
• Boothby-Wangのファイブレーションを用いて、M上の接触構造を錐の基底のシンプレクティック構造に関連づけ、ケーラー幾何と結びつける。
• Bärの対応を用いて、Sasaki-Einstein多様体上の実キリングスピン接続が、その錐における特別なホロノミーの存在と関連することを示す。
• 3-Sasakian 7-多様体の錐に対して、ほぼ平行なG₂構造およびG₂ホロノミーを持つ計量を構成し、G₂およびSpin(7)ホロノミー計量を導出する。
• Kronheimerのハイパーケーラー商構成を用いて、ALE特異点の部分的解消を行い、漸近的に錐型のG₂ホロノミー多様体の新しい例を生成する。
• D3-braneがSasaki-Einstein 5-多様体に終着する文脈におけるAdS/CFT双対性を分析し、境界上に双対な超対称ヤン・ミルズ理論を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasaki-Einstein多様体はどのようにケーラー錐の基底として現れ、その錐はどのようなホロノミー性質を示すか？
• RQ2 実キリングスピン接続は、Sasaki-Einstein多様体が超対称性および超重力にどのように関連するかを説明するか？
• RQ3 3-Sasakian 7-多様体の錐はどのようにほぼ平行なG₂構造およびG₂ホロノミーを持つ計量を生成するか？
• RQ4 Sasaki-Einstein 5-多様体はAdS/CFT対応において物理的にどのような意味を持ち、特にM理論コンパクト化においてどのように機能するか？
• RQ5 Kronheimerの構成による商特異点の部分的解消は、どのように新しいG₂ホロノミー計量を生じさせ、陽子崩壊および統一スケールにどのような意味を持つのか？

主な発見

• Sasaki-Einstein 5-多様体、例えばS⁵およびT¹,₁は、Calabi-Yau三重錐の基底として現れ、AdS₅×S⁵およびAdS₅×T¹,₁双対性の明示的モデルを提供する。
• 単連結なSasaki-Einstein 5-多様体の錐はG₂ホロノミーを持つ計量を備え、このような多様体は実キリングスピン接続を支持し、超対称性と結びつく。
• 3-Sasakian 7-多様体の錐はほぼ平行なG₂構造およびG₂ホロノミーを持つ計量を生成し、C⁴のハイパーケーラー商から明示的な例が得られる。
• Kronheimerの商法によるALE特異点の部分的解消を用いた、漸近的に錐型のG₂ホロノミー多様体の構成により、G₂計量の新しい非一様例が得られる。
• Sasaki-Einsteinおよび3-Sasakian多様体を基底とするG₂ホロノミー多様体へのM理論コンパクト化は、統一スケールおよび陽子崩壊の計算に有効な物理的意味を持つモデルを生じる。
• 本稿は、Sasaki-Einstein多様体が一般のリーマン多様体ではなく、ホロノミーを縮小した幾何と深く関連していることを確認し、超対称性および双対性の弦理論的テストに最適であることを示している。