[論文レビュー] Satiation in Fisher Markets and Approximation of Nash Social Welfare

Jugal Garg, Martin Hoefer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2017

Auction Theory and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、従来の研究では検討されていなかった、買い手の効用制限と売り手の収益制限の両方を備えた線形フィッシャーマーケットを導入し、分析する。競売均衡が存在するためには、'マネークリアリング'条件が満たされている必要があると示している。近似均衡のためのFPTASを提示し、正確な均衡問題がPLS ∩ PPADに属することを証明し、予算加法的評価におけるナッシュ社会的厚生を最大化するための2.404-近似アルゴリズムを適用した。

ABSTRACT

We study linear Fisher markets with satiation. In these markets, sellers have earning limits and buyers have utility limits. Beyond natural applications in economics, these markets arise in the context of maximizing Nash social welfare when allocating indivisible items to agents. In contrast to markets with either earning or utility limits, markets with both limits have not been studied before. They turn out to have fundamentally different properties. In general, the existence of competitive equilibria is not guaranteed. We identify a natural property of markets (termed money clearing) that implies existence. We show that the set of equilibria is not always convex, answering a question of Cole et al. [EC'17]. We design an FPTAS to compute an approximate equilibrium and prove that the problem of computing an exact equilibrium lies in the intersection of complexity classes PLS and PPAD. For a constant number of buyers or goods, we give a polynomial-time algorithm to compute an exact equilibrium. We show how (approximate) equilibria can be rounded and provide the first constant-factor approximation algorithm (with a factor of 2.404) for maximizing Nash social welfare when agents have budget-additive valuations. Finally, we significantly improve the approximation hardness for additive valuations to \sqrt{8/7} > 1.069 (over 1.00008 by Lee [IPL'17]).

研究の動機と目的

• 買い手と売り手の両方が飽和制約（買い手には効用制限、売り手には収益制限）を持つ線形フィッシャーマーケットを研究し、以前のモデルが片方の制限のみを考慮していたのを拡張する。
• このような市場における競争均衡が存在するための条件を確立し、特に均衡の存在に十分条件としての'マネークリアリング'条件を同定する。
• 均衡の構造的性質を分析し、特に均衡集合の非凸性を特定し、先行研究が提起した未解決の問いに答えを提示する。
• 近似均衡および正確な均衡を効率的に計算するためのアルゴリズムを開発し、特に低次元の設定において重点を置く。
• 均衡計算を応用し、予算加法的評価における非分割アイテム割り当てにおけるナッシュ社会的厚生の最大化のための、初めての定数倍近似アルゴリズムを設計する。

提案手法

• 実世界のリソース配分における制約をモデル化するため、効用制限と収益制限の両方を備えた一般化されたフィッシャーマーケットモデルを導入する。
• 先行研究の仮説を否定する反例を用いて、一般に均衡集合が凸でないことを証明する。
• 摂動に基づくアプローチとLemke-Howson風のパスフォローアルゴリズムを用いて、近似均衡を計算するFPTASを設計する。
• 正確な均衡問題がPLSとPPADの共通部分に属することを確立し、これは最悪ケースでは計算困難であるが、局所探索とパリティ論理に基づく解法が可能であることを示唆する。
• 買い手または商品の数が定数である場合、凸計画と列挙を用いて多項式時間アルゴリズムを構築する。
• 均衡の丸め処理技術を応用し、分数割り当てを整数割り当てに変換し、ゼロ価格成分においても各エージェントの評価値の半分以上を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 効用制限と収益制限の両方を備えたフィッシャーマーケットにおいて、競争均衡が存在する条件は何か？
• RQ2 両方の制限を持つ市場において、均衡集合は凸であるか。この性質はアルゴリズム設計にどのような影響を与えるか？
• RQ3 近似または正確な均衡を効率的に計算できるか。正確な問題の計算複雑性は何か？
• RQ4 このような市場における均衡は、非分割アイテム割り当てにおけるナッシュ社会的厚生の最大値を近似するためにどのように活用できるか？
• RQ5 予算加法的評価におけるナッシュ社会的厚生を最大化する際の、最も良い近似比は何か。これまではどの程度の性能であったかと比較するとどうなるか？

主な発見

• 効用制限と収益制限の両方を備えた市場において、'マネークリアリング'条件が満たされていれば、競争均衡が存在することが保証される。
• 一般に、均衡集合は凸でない。これは[15]が提起した均衡集合の凸性に関する問いに、否定的な答えを与える。
• このような市場において、近似均衡を計算するためのFPTASが存在し、任意の精度で効率的な近似が可能である。
• 正確な均衡を計算する問題は、PLSとPPADの共通部分に属しており、多項式時間アルゴリズムが既知でない最初の問題の一つである。
• 買い手または商品の数が定数である場合、凸計画と列挙を用いて正確な均衡を多項式時間で計算できる。
• 本稿は、予算加法的評価におけるナッシュ社会的厚生を最大化するための、初めての定数倍近似アルゴリズムを達成し、近似比は2.404である。