[論文レビュー] Satisfaction classes in nonstandard models of first-order arithmetic

Fredrik Engström|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2002

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、第一階算術の非標準的モデルにおける満足クラスの洗練された枠組みを提示し、関数記号を含む言語を用いてターキーの真理定義を非標準的論理式へ拡張する。可算なPAモデルが完全な満足クラスを有するための必要十分条件は、それが再帰的飽和していることであることを確立し、非標準的項に関する存在的仮定を排除するための新しい概念として自由満足クラスを導入するとともに、病理的現象を分析し、真理定義を強化する論理的拡張を提案する。

ABSTRACT

A satisfaction class is a set of nonstandard sentences respecting Tarski's truth definition. We are mainly interested in full satisfaction classes, i.e., satisfaction classes which decides all nonstandard sentences. Kotlarski, Krajewski and Lachlan proved in 1981 that a countable model of PA admits a satisfaction class if and only if it is recursively saturated. A proof of this fact is presented in detail in such a way that it is adaptable to a language with function symbols. The idea that a satisfaction class can only see finitely deep in a formula is extended to terms. The definition gives rise to new notions of valuations of nonstandard terms; these are investigated. The notion of a free satisfaction class is introduced, it is a satisfaction class free of existential assumptions on nonstandard terms. It is well known that pathologies arise in some satisfaction classes. Ideas of how to remove those are presented in the last chapter. This is done mainly by adding inference rules to M-logic. The consistency of many of these extensions is left as an open question.

研究の動機と目的

• 第一階算術の非標準的モデルにおける満足クラスの包括的な枠組みを構築すること、特に関数記号を含む言語において。
• 完全な満足クラスが存在する条件を明確化し、可算モデルにおいてそれが再帰的飽和と同値であることを証明すること。
• 非標準的項に関する存在的仮定を避ける自由満足クラスを導入し、その分析を行うこと。
• たとえば偽の論理式のタートロジカルな論理和のような満足クラスの病理的現象を、推論規則を備えた論理的拡張によって解消すること。
• $\mathfrak{M}$-論理やテンプレート論理といった拡張論理の整合性と構造を調査し、良好に振る舞う満足クラスを構築すること。

提案手法

• 満足クラスを、モデルの要素と論理式のペアを用いて再定式化し、非標準的文の真理定義がターキーの帰納的法則を満たすように保証する。
• $\mathfrak{M}$-論理を、満足クラスを生成する形式的体系として導入し、証明論的高さと妥当性の性質を有する。
• $\mathfrak{M}$-論理とテンプレート論理の間の関係を確立し、モデル理論的構成を用いて整合性結果を証明する。
• 自由満足クラスを、非標準的項 $t$ について $\exists x(t=x)$ が真である必要がないものとして定義し、より自然な真理定義を可能にする。
• $\mathfrak{M}$-論理の拡張として、命題論理および述語論理の下で満足クラスを閉じる推論規則を提案し、病理的現象を排除することを目的とする。
• 再帰的飽和と再可視性を用いて、満足クラスが存在し、望ましい閉包性質を満たすモデルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算なPAモデルが完全な満足クラスを有するのはどのような条件下か？
• RQ2 非標準的項に関する存在的仮定を避ける自由満足クラスを構成できるか？
• RQ3 任意の可算な再帰的飽和したPAモデルにおいて、非標準的命題論理的または一階論理的証明可能性に関して閉じた満足クラスは存在するか？
• RQ4 満足クラスを命題論理または述語論理の下で閉じるような$\mathfrak{M}$-論理の拡張の整合性はどのように評価できるか？
• RQ5 テンプレート論理や自由$\mathfrak{M}$-論理といった論理的体系を用いて、満足クラスの構造を完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 可算なPAモデルが完全な満足クラスを有するのは、それが再帰的飽和しているとき、かつそのときに限り、古典的結果（Kotlarski, Krajewski, Lachlan）を一般化する。
• 関数記号を含む言語における満足クラスの、新たな柔軟な構成法を提供し、項が満足クラスが有限の深さでのみ「検査」できる対象として扱われる点を強調する。
• 自由満足クラスは、標準的満足クラスの代替としてより自然な選択肢を提供し、非標準的項の存在に関する仮定を回避する。
• 本稿は、一般には$\mathfrak{M}$-論理が整合的でないことを示すが、テンプレート論理との関係とモデル理論的意味論を介してその整合性を確立できる。
• たとえば $0 \neq 0$ の論理的和としてのタートロジカルな論理式のような病理的論理式は、適切な推論規則を$\mathfrak{M}$-論理に拡張することで除外可能である。
• 非標準的反復後続項が任意の非標準的定数に等しくなる満足クラスの存在が示され、この枠組みの表現力が裏付けられる。