[論文レビュー] Satisfiability Modulo ODEs

Sicun Gao, Soonho Kong+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 20被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、常微分方程式（ODE）を含む実数上のSMT論理式に対して$δ$-完全な意思決定手続きを提示する。DPLL(ICP)フレームワークに区間ベースの pruning 演算子を組み合わせた手法であり、非線形ODEが数百個にの及ぶ規模にまでスケーリング可能で、純粋に存在記号を含む式および$Δ\forall^{t}$-式の両方をサポートする。これにより、現実的なハイブリッドシステムや組み込みソフトウェアの形式的検証が可能になる。

ABSTRACT

We study SMT problems over the reals containing ordinary differential equations. They are important for formal verification of realistic hybrid systems and embedded software. We develop delta-complete algorithms for SMT formulas that are purely existentially quantified, as well as exists-forall formulas whose universal quantification is restricted to the time variables. We demonstrate scalability of the algorithms, as implemented in our open-source solver dReal, on SMT benchmarks with several hundred nonlinear ODEs and variables.

研究の動機と目的

• 複雑で非線形なODEを含むハイブリッドシステムや組み込みソフトウェアの形式的検証の課題に対処すること。
• ODEを含む実数上の1階論理の決定不能性を克服するため、$δ$-完全な意思決定手続きを導入すること。
• 特に境界付きモデルチェックにおいて重要な役割を果たす、数百個の非線形ODEと変数を含む大規模なSMT論理式に対するスケーラブルな推論を可能にすること。
• $Δ\forall^{t}$-式を扱えるようにSMTソルビングを拡張すること。これはハイブリッドシステムにおける時間制限付き性質を表現するために不可欠である。
• 区間解析と制約伝播を用いて、実用的で整合的かつ$δ$-完全なODE制約付きSMTソルビングのフレームワークを形式的に定式化し、実装すること。

提案手法

• ODEの解関数を初期状態、時間、最終状態の間の制約として扱うことで、実数上におけるODEを含むSMTを意思決定問題として形式化する。
• 区間制約伝播（ICP）技術を用いて、初期状態、時間、最終状態の区間割り当てを refining する pruning 演算子を設計する。
• ODE制約をDPLL(ICP)フレームワークに統合し、ODEの解関数をブランチアンドプルーニングアルゴリズムにおけるブラックボックス制約として扱う。
• 区間算術における技術的問題を回避するため、$δ$-摂動下でも整合的かつ完全となるように、$δ$-正則な区間拡張を定義する。
• 時間変数に制限された全称量化を扱うことで、$Δ\forall^{t}$-式を処理し、ハイブリッドシステムの境界付き時間での検証を可能にする。
• 効率的な区間算術と非線形系のODE統合を活用して、オープンソースのソルバ dReal にアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリプシッツ連続ODEを含むSMT論理式に対して、実数上の1階論理の決定不能性にもかかわらず$δ$-完全な意思決定手続きを開発できるか？
• RQ2 本稿で提案するフレームワークは、非線形ODEが数百個にのぼり、ハイブリッドシステムの複雑なダイナミクスを含む現実的なベンチマークにまでスケーリング可能か？
• RQ3 境界付きモデルチェックにおいて不可欠な$Δ\forall^{t}$-式を、ODE付きSMTで効果的に処理できるか？
• RQ4 ODEの解関数に適用する区間ベースの pruning 演算子が、$δ$-完全性を保ちつつ実用的な性能を維持できるか？
• RQ5 本フレームワークに基づくdRealソルバは、心房細動やがん治療モデルなどの現実のハイブリッドシステムにおいて、到達可能性や安全性の性質をどの程度の範囲で検証できるか？

主な発見

• 提案された$δ$-完全なアルゴリズムは、リプシッツ連続ODEを含むSMT論理式に対して、形式的に整合的かつ完全であることが証明されている。
• dRealソルバは、280個の非線形ODEと616個の変数を含むベンチマークを処理し、心房細動モデルの深さ55の境界付きモデルチェックインスタンスを解釈した。
• 心房細動（AF）モデルでは、dRealが実験的シミュレーションデータに近い証拠トレースを計算し、1500時間単位での到達可能性性質を確認した。
• がん治療（CT）モデルは深さ3、500時間単位で検証され、計算されたトレースは実験データと整合しており、解の正しさが裏付けられた。
• 電子オシレータ（EO）およびバネの跳ね返りモデルは、三角関数および非線形摩擦項を含む標準的な非線形ODEに対して、効率的に検証され、強固さが確認された。
• 本ツールは、最大280個の非線形ODEを含むベンチマークに対してもスケーリング可能であり、標準的な3.4GHzオクタコアマシン上ではCPU時間100秒未塔で実行され、実用的なスケーラビリティが示された。