[論文レビュー] Sato-Tate theorem for families and low-lying zeros of automorphic $L$-functions

Sug Woo Shin, Nicolas Templier|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ラングランズの関手性原理と再帰的群上の調和解析を用いて、数体上の自動形式的表現の族に対して定量的なSato-Tate等分布定理を確立する。この研究では、関連する$L$関数の低レベル零点の分布が、ガロア表現のフロベニウス＝シュール指標に応じて、ユニタリ、シミプレクティック、または直交型のランダム行列集合の1次密度と一致することを証明し、広範な自動形式的文脈においてカーツ＝サルナックの予想を裏付ける。

ABSTRACT

We consider certain families of automorphic representations over number fields arising from the principle of functoriality of Langlands. Let $G$ be a reductive group over a number field $F$ which admits discrete series representations at infinity. Let $^{L}G=\\hat G \ times \\mathrm{Gal}(\\bar F/F)$ be the associated $L$-group and $r:{}^L G\ o \\mathrm{GL}(d,\\mathbb{C})$ a continuous homomorphism which is irreducible and does not factor through $\\mathrm{Gal}(\\bar F/F)$. The families under consideration consist of discrete automorphic representations of $G(\\mathbb{A}_F)$ of given weight and level and we let either the weight or the level grow to infinity. We establish a quantitative Plancherel and a quantitative Sato-Tate equidistribution theorem for the Satake parameters of these families. This generalizes earlier results in the subject, notably of Sarnak [Progr. Math. 70 (1987), 321--331.] and Serre [J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), no. 1, 75--102.]. As an application we study the distribution of the low-lying zeros of the associated family of $L$-functions $L(s,\\pi,r)$, assuming from the principle of functoriality that these $L$-functions are automorphic. We find that the distribution of the 1-level densities coincides with the distribution of the 1-level densities of eigenvalues of one of the Unitary, Symplectic and Orthogonal ensembles, in accordance with the Katz-Sarnak heuristics. We provide a criterion based on the Frobenius--Schur indicator to determine this Symmetry type. If $r$ is not isomorphic to its dual $r^\\vee$ then the Symmetry type is Unitary. Otherwise there is a bilinear form on $\\mathbb{C}^d$ which realizes the isomorphism between $r$ and $r^\\vee$. If the bilinear form is symmetric (resp. alternating) then $r$ is real (resp. quaternionic) and the Symmetry type is Symplectic (resp. Orthogonal).

研究の動機と目的

• 数体上の自動形式的表現の族に対して、関手性と調和解析を用いてSato-Tate等分布を一般化すること。
• レベルまたは重みが増加する族におけるSatakeパラメータの定量的プランシュレ測度およびSato-Tate等分布を確立すること。
• 関連ガロア表現のフロベニウス＝シュール指標に基づき、$L$関数の低レベル零点分布の対称性型（ユニタリ、シミプレクティック、または直交型）を特定すること。
• 関数体および古典的状況における先行結果を拡張し、数体設定におけるカーツ＝サルナックの予想の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ラングランズの関手性原理を用いて、固定された重みおよびレベルを持つ$G(\mathbb{A}_F)$の離散自動形式的表現の族を構成する。
• トレース公式および再帰的群上の調和解析を用いて、非分岐スペクトル上の定量的プランシュレ測度を導出する。
• Satake変換および軌道積分の推定を用いて、族内のSatakeパラメータの分布を制御する。
• SarnakとSerreの先行結果を一般化し、自然な測度に関して$\widehat{T}/\Omega$上でのSatakeパラメータの等分布を確立する。
• モチーフ的積分および定義可能集合の理論を用いて、族全体にわたる軌道積分の一様な上限を導出する。
• 表現$r$のフロベニウス＝シュール指標を用いて、低レベル零点分布の対称性型を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベルまたは重みが増加する自動形式的表現の族において、Satakeパラメータの分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 $L(s,\pi,r)$の低レベル零点は、どの程度までランダム行列集合の1次密度に従うか？
• RQ3 このような族における低レベル零点分布の対称性型（ユニタリ、シミプレクティック、または直交型）は、何によって決定されるか？
• RQ4 関手性を用いて、一般の再帰的群について数体上でのSato-Tate等分布を定量的に確立できるか？
• RQ5 等分布および密度定理を支えるために、族全体にわたる軌道積分の一様な上限をどのように導出できるか？

主な発見

• 自動形式的表現の族におけるSatakeパラメータは、自然な測度に関して$\widehat{T}/\Omega$上で等分布する。これは古典的Sato-Tate予想を一般化する。
• $L(s,\pi,r)$の低レベル零点の1次密度は、$r$のフロベニウス＝シュール指標に応じて、ユニタリ、シミプレクティック、または直交型の集合と一致する。
• $r$が自己双対でない場合、対称性型はユニタリである。$r \cong r^\vee$で、不変形式が対称的（resp. 反対称的）である場合、型はシミプレクティック（resp. 直交型）である。
• 本稿は、非分岐スペクトルに対して明示的な誤差項を伴う定量的プランシュレ測度を提供し、SarnakとSerreの結果を拡張する。
• モチーフ的積分および定義可能集合を用いて、軌道積分の一様な上限が確立され、正の特徴量から0特徴量への上限の転送が可能になる。
• 主な結果として、カーツ＝サルナックの予想が広範な自動形式的文脈で確認され、表現論的不変量に基づく対称性型の基準が提供される。