[論文レビュー] Saturated Sets for Nonuniformly Hyperbolic Systems

Chao Liang, Gang Liao+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$C^{1+\beta}$微分同相写像とそのエルゴディックな双曲的測度 $\omega$ に対して、全測度集合 $\widetilde{\Lambda}$ が存在し、$\widetilde{\Lambda}$ 上の任意の不変測度 $\mu$ の測度的エントロピーが、その飽和集合 $G_\mu$ のトポロジカルエントロピーに等しいことを確立する。さらに、コンパクトな測度集合 $K$ の飽和集合のトポロジカルエントロピーが、その測度のエントロピーの下界に等しいことを示し、カトック、マニエ、ボナティ＝ビアナの系を含む非一様双曲的系へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we prove that for an ergodic hyperbolic measure $\omega$ of a $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism $f$ on a Riemannian manifold $M$, there is an $\omega$-full measured set $\widetilde{\Lambda}$ such that for every invariant probability $\mu\in \mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$, the metric entropy of $\mu$ is equal to the topological entropy of saturated set $G_{\mu}$ consisting of generic points of $\mu$: $$h_\mu(f)=h_{ op}(f,G_{\mu}).$$ Moreover, for every nonempty, compact and connected subset $K$ of $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ with the same hyperbolic rate, we compute the topological entropy of saturated set $G_K$ of $K$ by the following equality: $$\inf\{h_\mu(f)\mid \mu\in K\}=h_{ op}(f,G_K).$$ In particular these results can be applied (i) to the nonuniformy hyperbolic diffeomorphisms described by Katok, (ii) to the robustly transitive partially hyperbolic diffeomorphisms described by ~Ma{\~{n}}{\'{e}}, (iii) to the robustly transitive non-partially hyperbolic diffeomorphisms described by Bonatti-Viana. In all these cases $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ contains an open subset of $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$.

研究の動機と目的

• 非一様双曲的系における飽和集合の測度的エントロピーとトポロジカルエントロピーの正確な関係を確立すること。
• このエントロピーの一致が、すべての不変測度に対して成り立つ全測度集合 $\widetilde{\Lambda}$ を特定すること。
• 一様双曲的率を持つコンパクトかつ連結な不変測度の部分集合に対して、その飽和集合のトポロジカルエントロピーを計算すること。
• 既知のエントロピー構造に関する結果を、より広範な非一様双曲的微分同相写像のクラスへと拡張すること。
• 本フレームワークが、代表的な例（カトックの非一様双曲的系、マニエのロバストに推移的な部分双曲的系、ボナティ＝ビアナのロバストに推移的な非部分双曲的系）に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• エルゴディックな双曲的測度 $\omega$ を持つ $C^{1+\alpha}$ 微分同相写像に対して、全測度集合 $\widetilde{\Lambda} \subset M$ を構成し、$\widetilde{\Lambda}$ 上のすべての不変測度が力学的に良好に振る舞うことを保証する。
• 各不変測度 $\mu$ に対して、バーキホフのエルゴディック定理を用いて、その一般点の集合として飽和集合 $G_\mu$ を定義する。
• 系の双曲的性質と $C^{1+\alpha}$ の正則性を用いて、リャプノフ指数を制御し、エントロピーの等価性を確立する。
• 変分原理とエントロピー構造理論を適用し、コンパクト集合 $K$ 上の測度のエントロピーの下界と $G_K$ のトポロジカルエントロピーとの関係を確立する。
• 関連する例において、$\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ が $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$ の開部分集合を含むという事実を活用し、広範な適用可能性を保証する。
• 非一様双曲的状況下で測度論的およびトポロジカルな道具を用いて、$h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_\mu)$ および $\inf_{\mu \in K} h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_K)$ の恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様双曲的系における不変測度 $\mu$ の測度的エントロピーは、その飽和集合 $G_\mu$ のトポロジカルエントロピーと正確に一致するか？
• RQ2 コンパクトかつ連結な不変測度集合 $K$ の飽和集合のトポロジカルエントロピーは、$K$ 内の測度のエントロピーの下界に等しいか？
• RQ3 このエントロピーの一致は、ロバストに推移的かつ非部分双曲的微分同相写像へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 どの構造的性質が、$\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ がエルゴディック測度空間 $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$ の開部分集合を含むことを保証するか？
• RQ5 全測度集合 $\widetilde{\Lambda}$ をどのように選ぶかが、系のエントロピー構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 全測度集合 $\widetilde{\Lambda}$ 上の任意の不変測度 $\mu$ に対して、測度的エントロピー $h_\mu(f)$ はその飽和集合 $G_\mu$ のトポロジカルエントロピーに等しく、すなわち $h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_\mu)$ が成り立つ。
• 一様双曲的率を持つ空でないコンパクトかつ連結な部分集合 $K \subset \mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ に対して、$G_K$ のトポロジカルエントロピーは $K$ 上のエントロピーの下界に等しく、すなわち $\inf_{\mu \in K} h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_K)$ が成り立つ。
• 結果は、カトックの非一様双曲的微分同相写像、マニエのロバストに推移的な部分双曲的系、ボナティ＝ビアナのロバストに推移的な非部分双曲的系に適用可能である。
• 3つの場合すべてにおいて、空間 $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ はエルゴディック測度空間 $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$ の開部分集合を含んでおり、結果が小さなまたは例外的な集合に制限されないことを保証する。
• $\widetilde{\Lambda}$ の構成により、$\omega$-ほとんど everywhere の点でエントロピーの一致が保たれ、力学的下での双曲的構造が保存される。
• エントロピーの一致は、エルゴディック理論、双曲的力学、トポロジカルエントロピー理論の組み合わせにより確立され、部分双曲的性質の仮定は、双曲的測度の存在がある限り、超えている。