[論文レビュー] Saturation and recurrence of quantum complexity in random local quantum dynamics

Michał Oszmaniec, Kotowski, Marcin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ランダムな局所量子回路において、量子複雑性が系のサイズの指数関数的時間後に最大値に飽和し、その後二重指数的時間スケールで再帰を示すことを証明し、BrownとSusskindの予想を裏付ける。分析は、ハール測度と高次近似ユニタリ設計の間の関係に依拠しており、十分な深さのランダム回路がこれらの設計に収束することを示し、複雑性ダイナミクスに対する厳密な境界を可能にする。

ABSTRACT

Quantum complexity is a measure of the minimal number of elementary operations required to approximately prepare a given state or unitary channel. Recently, this concept has found applications beyond quantum computing -- in studying the dynamics of quantum many-body systems and the long-time properties of AdS black holes. In this context Brown and Susskind \cite{BrownSusskind17} conjectured that the complexity of a chaotic quantum system grows linearly in time up to times exponential in the system size, saturating at a maximal value, and remaining maximally complex until undergoing recurrences at doubly-exponential times. In this work we prove the saturation and recurrence of complexity in two models of chaotic time evolutions based on (i) random local quantum circuits and (ii) stochastic local Hamiltonian evolution. Our results advance an understanding of the long-time behaviour of chaotic quantum systems and could shed light on the physics of black hole interiors. From a technical perspective our results are based on establishing new quantitative connections between the Haar measure and high-degree approximate designs, as well as the fact that random quantum circuits of sufficiently high depth converge to approximate designs.

研究の動機と目的

• BrownとSusskindが予想したように、カオス的量子系における量子回路複雑性の飽和と再帰を厳密に確立すること。
• ゲートセットや相互作用幾何学に依存しない、ランダム局所量子回路における複雑性の長時間ダイナミクスを分析すること。
• ハール測度の性質を回路の深さと複雑性の進化に定量的に結びつけることで、量子複雑性理論とランダム行列理論および近似設計を橋渡しすること。
• ブラックホール内部や量子多体系における複雑性の理解のための技術的基盤を、ランダム回路の普遍的モデルを通じて提供すること。

提案手法

• 著者たちは、各時間ステップで量子ビットの部分集合にランダムユニタリを適用するランダム局所ユニタリ回路を用いて、カオス的時間発展をモデル化する。
• ハール測度と高次近似ユニタリ設計との間の定量的関係を確立し、深さのあるランダム回路がこれらの設計に収束することを示す。
• Weyl積分公式を用いて、ユニタリ群内の複雑性アニュラスの体積を固有値分布と単位円上の弧長で表現する。
• 特に、円周上のランダムな点を含む最短弧の分布を活用した幾何学的および確率的議論を通じて、アニュラスの体積に対する境界を導出する。
• 主な技術的道具は、固有値の弧長と関数 $ f(x) = 4\arcsin(x/2) $（距離から弧長への写像）に基づく、単位元からの距離によって定義されるアニュラスの体積に対する新規な上界である。
• 再帰の証明は、有限次元ユニタリ群へのPoincaré再帰原理の適用に加え、測度集中と体積減少推定を組み合わせることで行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム局所量子回路における量子複雑性は、系のサイズの指数関数的時間後に最大値に飽和するか？
• RQ2 二重指数的時間スケールで、複雑性が自明な値に戻ることを厳密に確立できるか？
• RQ3 十分な深さのランダム量子回路がどの程度ユニタリ設計を近似できるか、そしてそれが複雑性ダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ4 ハール測度と固有値の弧長分布が、ユニタリ群内の複雑性アニュラスの体積をどの程度制約するか？
• RQ5 回路の深さ、複雑性の増加、近似設計への収束との間の明確な定量的関係は何か？

主な発見

• ランダム局所量子回路における量子複雑性は、$ t_{\text{sat}} = \exp(\Theta(n)) $ の時間後に最大値に飽和する。ここで $ n $ は量子ビット数である。
• 複雑性は、$ t_{\text{rec}} = \exp(\exp(\Theta(n))) $ の時間に至るまで最大の複雑性を維持し、その後低複雑性へ再帰する。これはPoincaré再帰原理と整合的である。
• 単位元からの距離 $ \kappa $ 以内のユニタリの集合の体積は $ (2\lambda\kappa)^{d^2 - 1}(\lambda - 1) $ で上界され、複雑性アニュラスの定量的取り扱いが可能になる。
• 十分な深さのランダム量子回路は高次近似ユニタリ設計に収束するため、複雑性解析においてハール測度の近似が利用可能になる。
• ランダムユニタリの固有値を含む最短弧の分布が、複雑性アニュラスの体積を上界するために用いられ、弧長はユニタリのアイデンティティからのダイヤモンドノルム距離と直接関係する。
• 分析は任意の局所ゲートセットや相互作用幾何学に対して有効であり、ランダム回路モデルにおける複雑性ダイナミクスの普遍性を示している。