[論文レビュー] Saturation of Concurrent Collapsible Pushdown Systems

Matthew Hague|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、順序付けられた、フェーズ有界の、スコープ有界のバージョンを含む、並行折りたたみ可能プッシュダウンシステム（CCPDS）におけるグローバル制御状態到達可能性問題を解消する飽和ベースの手法を提示する。遷移オートマトンとレイヤード状態表現を用いて飽和技法を拡張することで、著者らは決定可能性を確立し、すべての到達可能な構成の正規表現を提供し、複雑なプロシージャ呼び出しを伴う高階並行プログラムの検証の基盤を提供する。

ABSTRACT

Multi-stack pushdown systems are a well-studied model of concurrent computation using threads with first-order procedure calls. While, in general, reachability is undecidable, there are numerous restrictions on stack behaviour that lead to decidability. To model higher-order procedures calls, a generalisation of pushdown stacks called collapsible pushdown stacks are required. Reachability problems for multi-stack collapsible pushdown systems have been little studied. Here, we study ordered, phase-bounded and scope-bounded multi-stack collapsible pushdown systems using saturation techniques, showing decidability of control state reachability and giving a regular representation of all configurations that can reach a given control state.

研究の動機と目的

• 並行折りたたみ可能プッシュダウンシステム（CCPDS）における到達可能性の決定可能性に関する結果の欠如に対処すること。CCPDSは、並行プログラムにおける高階プロシージャ呼び出しをモデル化する。
• 従来、1階プッシュダウンシステムに用いられてきた飽和技法を、折りたたみ可能プッシュダウンスタックの高階構造を扱えるように拡張すること。
• 順序付けられた、フェーズ有界の、スコープ有界のCCPDSにおけるグローバル制御状態到達可能性の決定可能性を証明し、すべての到達可能な構成の正規表現を提供すること。
• 2階スタック上のMSO理論が決定不能であるため、CCPDSにMSOに基づくフレームワークを一般化することが困難であるという課題を克服すること。

提案手法

• 飽和アルゴリズムの振る舞いを要約するための遷移オートマトンを導入し、スタック構成に関するモジュラーな推論を可能にする。
• Atigの順序付きプッシュダウンシステム用のアルゴリズムを、一般化された拡張プッシュダウンシステムの概念を用いて、順序付きCCPDSに拡張する。
• スコープ有界CCPDSに対してバックワード解析を適用し、La TorreとNapoliの1階システム用のフォワード解析を高階スタックに一般化する。
• レイヤード状態表現を用いて、スタック操作（プッシュ、ポップ、折りたたみ、リライト、ノーオペレーション）を正確に追跡し、折りたたみとポップラウンドを厳密に制御する。
• 空間計算量を $\mathcal{O}(2\uparrow_{n-1}(f(\zeta,\ell)))$ で有界にするためにSavitchのアルゴリズムを用いる。ここで $n$ はスタック順序、$\ell$ は制御状態の数である。
• 与えられた制御状態に到達可能なすべての構成の正規表現を構築し、有限かつ有効な表現を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付き並行折りたたみ可能プッシュダウンシステムにおけるグローバル制御状態到達可能性は決定可能か？
• RQ2 飽和技法をフェーズ有界およびスコープ有界CCPDSに拡張することで、決定可能性を達成できるか？
• RQ3 これらのCCPDSクラスに対して、すべての到達可能な構成の正規表現を計算できるか？
• RQ4 これらのモデルにおける到達可能性を解く際の複雑さの上限は何か？
• RQ5 2階スタック上のMSO理論が決定不能であることを踏まえ、MSOの決定可能性に依存する汎用フレームワークをCCPDSに一般化できるか？

主な発見

• 遷移オートマトンを用いた拡張された飽和法を用いることで、順序付きCCPDSにおけるグローバル制御状態到達可能性は決定可能である。
• この手法により、与えられた制御状態に到達可能なすべての構成の正規表現が得られ、有効な解析が可能になる。
• 到達可能性を解く際の計算量は、$\mathcal{O}(2\uparrow_{n-1}(f(\zeta,\ell)))$ の空間量で有界であり、ここで $n$ はスタック順序、$\ell$ は制御状態の数である。
• スコープ有界CCPDSの解決は、新規のバックワード解析により達成され、1階手法が高階スタックに一般化されている。
• フェーズ有界CCPDSは、同じ飽和機構を用いて決定可能であることが示され、付録Fに詳細が記載されている。
• 本稿では、2階スタックの単純な符号化が、決定不能なMSO理論を持つことを証明しており、MSOに基づくフレームワークをCCPDSに一般化することが困難であることを強調している。