[論文レビュー] Scalable Auction Algorithms for Bipartite Maximum Matching Problems

Quanquan C. Liu, Yingyue Ke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Cryptography and Data Security被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、最大重み付き二部マッチング（MWM）および最大基数bマッチング（MCbM）のスケーラブルなオークションベースのアルゴリズムを提示し、ブラックボードモデルにおいてそれぞれO(log n / ε⁸)およびO(log n / ε²)ラウンドを達成した。本研究は、Dobzinski, Nisan, and Oren（2014）が提起した未解決問題を解決し、通信量が少ない分散的・インタラクティブな設定でMWMに対して(1−ε)-近似を達成した。従来の研究と比較して、半ストリーミング、ワークリソース・デプス、およびマスサイト・パラレルコンピューティング（MPC）モデルにおいて、空間効率およびラウンド効率を著しく向上させた。

ABSTRACT

Bipartite maximum matching and its variants are well-studied problems under various models of computation with the vast majority of approaches centering around various methods to find and eliminate augmenting paths. Beginning with the seminal papers of Demange, Gale and Sotomayor [DGS86] and Bertsekas [Ber81], bipartite maximum matching problems have also been studied in the context of auction algorithms. These algorithms model the maximum matching problem as an auction where one side of the bipartite graph consists of bidders and the other side consists of items; as such, these algorithms offer a very different approach to solving this problem that do not use classical methods. Dobzinski, Nisan and Oren [DNO14] demonstrated the utility of such algorithms in distributed, interactive settings by providing a simple and elegant O(log n/ε²) round maximum cardinality bipartite matching (MCM) algorithm that has small round and communication complexity and gives a (1-ε)-approximation for any (not necessarily constant) ε > 0. They leave as an open problem whether an auction algorithm, with similar guarantees, can be found for the maximum weighted bipartite matching (MWM) problem. Very recently, Assadi, Liu, and Tarjan [ALT21] extended the utility of auction algorithms for MCM into the semi-streaming and massively parallel computation (MPC) models, by cleverly using maximal matching as a subroutine, to give a new auction algorithm that uses O(1/ε²) rounds and achieves the state-of-the-art bipartite MCM results in the streaming and MPC settings. In this paper, we give new auction algorithms for maximum weighted bipartite matching (MWM) and maximum cardinality bipartite b-matching (MCbM). Our algorithms run in O(log n/ε⁸) and O(log n/ε²) rounds, respectively, in the distributed setting. We show that our MWM algorithm can be implemented in the distributed, interactive setting using O(log² n) and O(log n) bit messages, respectively, directly answering the open question posed by Demange, Gale and Sotomayor [DNO14]. Furthermore, we implement our algorithms in a variety of other models including the the semi-streaming model, the shared-memory work-depth model, and the massively parallel computation model. Our semi-streaming MWM algorithm uses O(1/ε⁸) passes in O(n log n ⋅ log(1/ε)) space and our MCbM algorithm runs in O(1/ε²) passes using O((∑_{i ∈ L} b_i + |R|) log(1/ε)) space (where parameters b_i represent the degree constraints on the b-matching and L and R represent the left and right side of the bipartite graph, respectively). Both of these algorithms improves exponentially the dependence on ε in the space complexity in the semi-streaming model against the best-known algorithms for these problems, in addition to improvements in round complexity for MCbM. Finally, our algorithms eliminate the large polylogarithmic dependence on n in depth and number of rounds in the work-depth and massively parallel computation models, respectively, improving on previous results which have large polylogarithmic dependence on n (and exponential dependence on ε in the MPC model).

研究の動機と目的

• 分散およびストリーミングモデルにおける最大重み付き二部マッチング（MWM）および最大基数bマッチング（MCbM）のスケーラブルなオークションアルゴリズムを開発すること。
• Dobzinski, Nisan, and Oren（2014）が提起した未解決問題、すなわち、インタラクティブで通信量が少ないオークションアルゴリズムがMWMに対して(1−ε)-近似を達成できるかを解明すること。
• 従来の最先端手法と比較して、半ストリーミング、ワークリソース・デプス、およびマスサイト・パラレルコンピューティング（MPC）モデルにおける空間およびラウンド複雑性におけるε依存性を低減すること。
• ワークリソース・デプスおよびMPCモデルにおいて、それぞれ深さおよびラウンド複雑性におけるnの大きな多対数的依存性を排除すること。

提案手法

• Demange, Gale, and Sotomayor（1986）およびBertsekas（1981）のオークションフレームワークを、修正された価格更新ルールを用いて重み付きマッチング設定に適応する。
• Gupta-Peng変換を適用して、辺をO(log(1/ε)(W))個の重みベースのバケットとO(1/ε)個のコピーに分割し、並列または逐次処理による効率的な近似を可能にする。
• ブラックボードモデルを用いて分散計算を調整し、各ノードが中央のコーディネータにメッセージを送信することで、合計通信ビット数を最小限に抑える。
• 複数のモデルにわたってアルゴリズムを実装する：半ストリーミング（MWMに対してO(1/ε⁸)パス、O(n log n · log(1/ε))空間）、共有メモリワークリソース・デプス、MPC。
• オークションアルゴリズムの構造を活用して通信およびラウンド複雑性を制限し、MWMおよびMCbMに対してそれぞれO(log n / ε⁸)およびO(log n / ε²)ラウンドを達成する。
• 任意の(1+ε)-近似MWMプロトコルを、通信、作業、または空間の吹き増しを制御可能な形で(1+16ε)-近似に拡張する変換フレームワークを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オークションアルゴリズムは、通信量が少ない分散的・インタラクティブな設定で、最大重み付き二部マッチング（MWM）に対して(1−ε)-近似を達成できるか？（最大基数マッチング（MCM）の事例と同様に。）
• RQ2 半ストリーミングモデルにおけるMWMのラウンド複雑性、通信コスト、および空間使用量の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 オークションベースの手法は、二部グラフの一方の側に次数制約があるbマッチング問題にどのように適応できるか？
• RQ4 オークションアルゴリズムは、ワークリソース・デプスおよびMPCモデルにおいて、それぞれ深さおよびラウンド複雑性におけるnの大きな多対数的依存性を排除できるか？
• RQ5 異なるモデルにおいて、(1+ε)-近似MWMプロトコルを(1+16ε)-近似に拡張するために必要な最小限の通信、作業、または空間のオーバーヘッドは何か？

主な発見

• 提案されたMWMアルゴリズムはブラックボードモデルでO(log n / ε⁸)ラウンドで実行され、従来の研究に比べてεに指数関数的依存性を有しない顕著な改善を達成した。
• 分散的・インタラクティブな設定において、O(log² n)およびO(log n)ビットメッセージを用いてMWMに対して(1−ε)-近似を達成し、Dobzinski, Nisan, and Oren（2014）が提起した未解決問題に直接的に答えを提示した。
• 半ストリーミングモデルでは、MWMアルゴリズムはO(1/ε⁸)パスとO(n log n · log(1/ε))の空間を用い、εにかかる空間依存性において従来の最高水準と比較して指数的に改善された。
• MCbMに関しては、O(log n / ε²)ラウンドで実行され、O((∑ᵢ∈L bᵢ + |R|) log(1/ε))の空間を要し、従来の手法と比較してラウンド複雑性を改善し、ε依存性を低減した。
• ワークリソース・デプスモデルでは、深さにおけるnの大きな多対数的依存性を排除し、O(D(n, m, f(ε), ε) · log(1/ε)(W))の深さを達成し、作業の吹き増しを制御した。
• MPCモデルでは、ラウンド複雑性におけるεの指数的依存性を低減し、1マシンあたりO(S(n, m, f(ε), ε) + n · log(1/ε)(W))の空間および全空間でO(T(n,m,f(ε),ε)·log(1/ε)(W)/ε)を達成し、前例を上回る結果を得た。