[論文レビュー] Scalable Bayesian Hamiltonian learning

T. J. Evans, Robin Harper+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 2被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、複数の入力状態、制御場、事前情報と組み合わせることで、非一般的または非局所的相互作用を持つ量子系のハミルトニアンでさえも、正確で不確実性を伴う再構成を可能にするスケーラブルで適応的なベイズ枠組み、ベイジアンハミルトニアン学習（BHL）を導入する。理論的保証により、$k$-体ハミルトニアンのためのサンプル複雑性が $\tilde{O}(n^{3k}/(\varepsilon\Delta)^{3/2})$ にスケーリングすることが示されている。

ABSTRACT

As the size of quantum devices continues to grow, the development of scalable methods to characterise and diagnose noise is becoming an increasingly important problem. Recent methods have shown how to efficiently estimate Hamiltonians in principle, but they are poorly conditioned and can only characterize the system up to a scalar factor, making them difficult to use in practice. In this work we present a Bayesian methodology, called Bayesian Hamiltonian Learning (BHL), that addresses both of these issues by making use of any or all, of the following: well-characterised experimental control of Hamiltonian couplings, the preparation of multiple states, and the availability of any prior information for the Hamiltonian. Importantly, BHL can be used online as an adaptive measurement protocol, updating estimates and their corresponding uncertainties as experimental data become available. In addition, we show that multiple input states and control fields enable BHL to reconstruct Hamiltonians that are neither generic nor spatially local. We demonstrate the scalability and accuracy of our method with numerical simulations on up to 100 qubits. These practical results are complemented by several theoretical contributions. We prove that a $k$-body Hamiltonian $H$ whose correlation matrix has a spectral gap $Δ$ can be estimated to precision $\varepsilon$ with only $ ilde{O}\bigl(n^{3k}/(\varepsilon Δ)^{3/2}\bigr)$ measurements. We use two subroutines that may be of independent interest: First, an algorithm to approximate a steady state of $H$ starting from an arbitrary input that converges factorially in the number of samples; and second, an algorithm to estimate the expectation values of $m$ Pauli operators with weight $\le k$ to precision $ε$ using only $O(ε^{-2} 3^k \log m)$ measurements, which quadratically improves a recent result by Cotler and Wilczek.

研究の動機と目的

• 既存のハミルトニアン学習手法の実用的限界に対処する。これらは悪条件であり、スカラー要因を除いてのみハミルトニアンを回復できる。
• 大規模な量子系におけるハミルトニアンの正確でスケーラブルな再構成を可能にする。非一般的で、空間的に局所的でない相互作用を含む。
• 事前知識、複数の入力状態、実験的制御を統合し、推定の忠実性と耐性を向上させる。
• データが蓄積されるにつれて、推定値と不確実性をリアルタイムで更新するオンラインで適応的な測定プロトコルを開発する。
• 現実的な物理的仮定の下で、正確なハミルトニアン再構成のためのサンプル複雑性の理論的境界を提供する。

提案手法

• ハミルトニアンに関する事前知識を組み込み、逐次的な実験データを用いて信念を更新するベイジアンモデルを構築する。
• 識別可能性を向上させ、一般的または局所的でない形式を越えてハミルトニアンを再構成するために、複数の入力状態と制御場を用いる。
• 繰り返しサンプリングを用いて、ハミルトニアンに関連する核演算子 $K$ の行列要素を推定するための四分位法を実装する。
• 任意の初期状態からハミルトニアンの定常状態を高速収束アルゴリズムで近似し、サンプル数に対して階乗的収束を達成する。
• $O(\epsilon^{-2}3^k \log m)$ 測定で、重み $\leq k$ の $m$ 個のパウリ演算子期待値を推定するための新規測定プロトコルを適用し、先行研究を改善する。
• 合計測定コストを最小化するために、サンプリング誤差と四分位誤差のトレードオフを最適化し、適応的時間とサンプル選択を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な量子系におけるハミルトニアン推定の悪条件性とスカラー不確実性を克服するために、ベイズ推論を用いることは可能か？
• RQ2 事前知識、複数の入力状態、制御場を体系的に組み合わせることで、空間的に局所的または一般的モデルを超えたハミルトニアン再構成をどのように向上できるか？
• RQ3 現実的なノイズと有限サンプル制約下で、測定コストと推定精度の最適なトレードオフは何か？
• RQ4 この手法を適応的かつオンラインにできるか？新規データが到着するにつれて、推定値と不確実性をリアルタイムで更新できるか？
• RQ5 $k$-体および $k$-局所的ハミルトニアンの正確な再構成に、どのような理論的サンプル複雑性境界を証明できるか？

主な発見

• この手法は、精度 $\varepsilon$ で $k$-体ハミルトニアンを再構成する際、サンプル複雑性 $\tilde{O}(n^{3k}/(\varepsilon\Delta)^{3/2})$ を達成する。ここで $\Delta$ はスペクトルギャップである。
• 空間次元 $D$ の $k$-局所的ハミルトニアンでは、サンプル複雑性が $O\bigl(\frac{n^{3}k^{3D}3^{2k}}{\varepsilon^{3/2}\Delta^{3/2}}\sqrt{\log(n^{3}k^{3D}/(\delta\sqrt{\varepsilon\Delta}))}\bigr)$ にスケーリングする。
• このアルゴリズムは、CotlerとWilczekの最近の結果に対して、$O(\epsilon^{-2}3^k \log m)$ 測定で $m$ 個のパウリ演算子期待値を推定する際に、二乗の改善を達成する。
• 定常状態近似サブルーチンは、サンプル数に対して階乗的収束を示し、標準的手法と比較して収束を著しく加速する。
• 数値シミュレーションにより、100キュービットまでの系でスケーラビリティと正確性が検証され、理論的境界と整合している。
• このフレームワークはオンラインで適応的学習を可能にし、新規データが入手可能になるたびに、ハミルトニアン推定値とその不確実性を継続的に更新する。