[論文レビュー] Scalable Incremental Nonconvex Optimization Approach for Phase Retrieval from Minimal Measurements

Ji Li, Jian‐Feng Cai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

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ひとこと要約

本稿では、最小限の測定値からの位相再構成のためのスケーラブルな段階的非凸最適化手法IncrePRを提案する。間接的に凸目的関数を最小化することで、非凸更新を繰り返し行い、グローバル収束を達成し、$ m = 2n-1 $ 個のガウス測定値から完全な再構成を達成し、特にフーリエおよび構造化測定設定において、最先端の手法よりも優れた再構成品質を実現する。

ABSTRACT

We aim to find a solution $\bm{x}\in\mathbb{R}^n/\mathbb{C}^n$ to a system of quadratic equations of the form $b_i=\lvert\langle\bm{a}_i,\bm{x} angle vert^2$, $i=1,2,\ldots,m$, e.g., the well-known phase retrieval problem, which is generally NP-hard. It has been proved that the number $m = 2n-1$ of generic random measurement vectors $\bm{a}_i\in\mathbb{R}^n$ is sufficient and necessary for uniquely determining the $n$-length real vector $\bm{x}$ up to a global sign. The uniqueness theory, however, does not provide a construction or characterization of this unique solution. As opposed to the recent nonconvex state-of-the-art solvers, we revert to the convex relaxation semidefinite programming (SDP) approach and propose to indirectly minimize the convex objective by successive and incremental nonconvex optimization, termed as exttt{IncrePR}, to overcome the excessive computation cost of typical SDP solvers. exttt{IncrePR} avoids sensitive dependence of initialization of nonconvex approaches and achieves global convergence, which makes it also promising for more general models and measurements. For real Gaussian model, exttt{IncrePR} achieves perfect recovery from $m=2n-1$ noiseless measurement and the recovery is stable from noisy measurement. When applying exttt{IncrePR} for structured (non-Gaussian) measurements, such as transmission matrix and oversampling Fourier measurement, it can also locate a reconstruction close to true reconstruction with few measurements. Extensive numerical tests show that exttt{IncrePR} outperforms other state-of-the-art methods in the sharpest phase transition of perfect recovery for Gaussian model and the best reconstruction quality for other non-Gaussian models, in particular Fourier phase retrieval.

研究の動機と目的

• 最小測定数 $ m = 2n-1 $ の条件下で、グローバル符号の違いを除いて一意な再構成が理論的に可能であるにもかかわらず、NP困難な位相再構成問題を解く挑戦に取り組む。
• 通常の半定値計画法（SDP）ソルバーの高い計算コストを克服しつつ、凸緩和手法のグローバル収束性とロバスト性を維持する。
• 従来の非凸ソルバーが感受しやすい初期値依存性を回避する手法を開発し、多様な測定モデルにおいて信頼性の高い性能を実現する。
• ガウス測定値および非ガウス測定値の両方の設定、特にトランスミッション行列やオーバーサンプルドフーリエ測定といった構造化モデルにおいても、高品質な再構成を達成する。
• 特にフーリエ位相再構成において、フェーズ遷移の鋭さと再構成精度の両面で最先端の性能を示す。

提案手法

• 完全なSDP解法の計算負荷を回避するため、逐次的非凸更新を通じて凸目的関数を間接的に最小化する、新規の段階的非凸最適化戦略であるIncrePRを提案する。
• $ m = 2n-1 $ 個の一般の実測定ベクトル $ m{a}_i o m{x} $ による一意性保証を活用しつつ、直接的なSDP解法を避けて反復的非凸精錬を実施する。
• 非凸な部分問題であっても、段階的更新によって目的関数が単調に減少するように保証することで、グローバル収束を維持する。
• ノイズのない状況とノイズのある状況の両方の設定に適用し、測定ノイズの存在下でも安定性とロバスト性を示す。
• トランスミッション行列やオーバーサンプルドフーリエ変換といった構造化測定モデルに適応するため、最適化の過程でその特定の構造を活用する。
• 段階的に解の推定値を改善する逐次的精錬メカニズムを採用し、初期値依存性を低減させ、収束の信頼性を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な半定値計画法の計算コストを回避しつつ、理論的保証を維持するスケーラブルでグローバル収束性を有する位相再構成手法を設計できるか？
• RQ2 段階的非凸最適化は、ノイズのないガウス測定下で $ m = 2n-1 $ 測定値から安定的かつ正確な再構成を可能にするか？
• RQ3 フーリエやトランスミッション行列設定といった非ガウス測定モデル、特に構造化モデルにおいて、本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 既存の最先端ソルバーと比較して、本手法は完全再構成のフェーズ遷移をより鋭く達成できるか？
• RQ5 実用的状況下で、ノイズに対してロバストで、初期値に敏感でない程度はどの程度か？

主な発見

• IncrePRは、$ m = 2n-1 $ 個のノイズのないガウス測定値から完全な再構成を達成し、実際の実装で理論的唯一性の境界を確認する。
• ノイズのある状況でも安定した再構成を示し、測定数が限られている状況でも高い再構成精度を維持する。
• オーバーサンプルドフーリエやトランスミッション行列の構造化測定モデルにおいて、最小限の測定数で真の信号に近い再構成を生成する。
• 広範な数値実験により、IncrePRはガウス位相再構成において、最も鋭いフェーズ遷移を示す点で他の最先端手法を上回ることを示す。
• 非ガウスモデル、特にフーリエ位相再構成において、競合手法と比較して最高の再構成品質を達成する。
• アルゴリズムはグローバル収束を示し、初期値依存性が低減しているため、位相再構成を越えた幅広い応用に適している。