[論文レビュー] Scalar Curvature of Manifolds with Boundaries: Natural Questions and Artificial Constructions

Misha Gromov|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、スカラー曲率の上限を満たすリーマン多様体の境界を持つ場合の幾何的制約を、スピン幾何学とディラック作用素の技法を用いて調査する。境界の平均曲率、スカラー曲率、境界の超球半径を結びつける鋭い不等式を導出する。主な結果として、スカラー曲率が非負であるスピン多様体では、境界の平均曲率の下限が $\frac{n-1}{\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)}$ で上から抑えられ、等号はユークリッド球で成立する。負のスカラー曲率への拡張は積構成により可能である。

ABSTRACT

We present several problems and results relating the scalar curvatures of manifolds with mean curvatures of their boundaries

研究の動機と目的

• 閉じたリーマン多様体 $Y$ と関数 $M$ に対して、それがスカラー曲率 $\mathrm{Sc}(X) \geq \sigma$ と境界 $\partial X$ における平均曲率 $M$ を満たすコンパクト多様体 $X$ を境界として持つための必要十分な幾何的条件を同定すること。
• 境界 $\partial X$ における大きな平均曲率が、非負のスカラー曲率を持つ埋め込みを排除するかどうかを検討すること、特にスピン多様体において。
• 境界 $\partial X$ の幾何とスカラー曲率の上限 $\sigma$ の観点から、このような埋め込み $X$ の体積の下界を確立すること、特に $\sigma = 0$ の場合に注目する。
• 角を持つ多様体における二面角の制約と類似性を検討し、極値幾何に関する予想に触発されて、平均曲率の制約との類似性を考察すること。

提案手法

• 境界が $Y$ であるスピン多様体 $X$ の二重 $X \cup_Y X$ を用い、正の曲率演算子を持つ計量に対する Goette-Semmelmann の極値定理を適用する。
• 二重を曲率演算子が正である径数計量を備えた球面 $S^n$ にマッピングし、ディラック作用素のスペクトル理論を活用する。
• $X \times S^m(R)$ に不等式 $[\mathrm{mean}]_{\mathrm{Sc} \geq 0}$ を適用し、$R = \sqrt{m(m-1)/\sigma}$ とすることで、$\mathrm{Sc} < 0$ の場合を導出する。
• 境界 $Y$ のサイズを表す指標として、超球への距離減少で次数がゼロでない写像を用いて定義される超球半径 $\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)$ を導入する。
• ユークリッド球やその剛性といった極値例を検討する。
• 内在的フラット収束と次数論を用いて、スカラー曲率が球面のそれに近づく多様体の体積の下界と安定性に関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体 $X$ の境界 $Y$ における十分に大きな平均曲率は、$\mathrm{Sc}(X) \geq 0$ を満たす埋め込みを排除するか？
• RQ2 スカラー曲率の上限 $\sigma$ と境界の幾何、平均曲率に依存する、埋め込み多様体 $X$ の体積に対する普遍的な下界は存在するか？
• RQ3 角を持つ多様体の二面角は、スカラー曲率と境界の幾何に依存して上から抑えられるか、特に $\mathrm{Sc}(X) \geq 0$ の場合に注目するか？
• RQ4 ユークリッド空間の剛性は、スカラー曲率の非負性と漸近的平坦性の下でも成立するか？ また、Witten の正の質量定理とどのように関係するか？
• RQ5 スカラー曲率が $\mathrm{Sc}(X) \geq -\varepsilon$、$\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(\partial X) \geq 1$、平均曲率 $\mathrm{mean.curv}(\partial X) \geq n-1$ を満たす多様体に対して、体積比較を確立できるか？

主な発見

• 次元 $n$ のコンパクトで向き付け可能なスピン多様体 $X$ で $\mathrm{Sc}(X) \geq -\sigma$ を満たすものに対して、境界 $\partial X$ 上の平均曲率の下限は、すべての $m \geq 2$ に対して $\inf_{y \in Y} \mathrm{mean.curv}(Y,y) \leq \max\left(\frac{n+m-1}{\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)}, \sqrt{\frac{\sigma}{m(m-1)}}\right)$ を満たす。等号はユークリッド球で成立する。
• $\mathrm{Sc}(X) \geq 0$ の場合、不等式は $\inf_{y \in Y} \mathrm{mean.curv}(Y,y) \leq \frac{n-1}{\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)}$ に簡略化され、これは鋭く、$\mathbb{R}^n$ 内の球で達成される。
• $[\mathrm{mean}]_{\mathrm{Sc} \geq 0}$ の不等式は、二重構成と曲率演算子が正である球面へのマッピングを用い、Goette-Semmelmann の定理に依存して証明される。
• ユークリッド空間の剛性が示唆される：$X^+$ がコンパクト集合の外で $\mathbb{R}^n$ に等長であり、$\mathrm{Sc}(X^+) \geq 0$ ならば、$X^+$ は $\mathbb{R}^n$ に等長であるが、滑らかさの誤差のため完全な証明には至らない。
• スカラー曲率 $\mathrm{Sc}(X) \geq \sigma_n$ を満たす任意の滑らかな面積減少写像 $X$ から $S^n$ への写像で、$\partial X$ のコラールを一点に収縮させるものは、次数がゼロでなければならないという予想が提示される。
• 球面安定性問題が提起される：$\mathrm{Sc}(X_i) \to n(n-1)$ かつ $\mathrm{Rad}_{S^n}(X_i) \to 1$ ならば、$X_i$ は内在的フラット位相で $S^n$ に収束するはずであり、薄いブリッジが付加される可能性がある。