[論文レビュー] Scalar Curvature on Compact Symmetric Spaces

Mario Listing|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、局所的に対称な空間 $(M_0,g_0)$ に対して、スケーリングされたスカラー曲率の比較条件を弱める新規なスカラー曲率剛性結果を確立する。$\chi(M_0) \neq 0$ であるとき、$\mathrm{scal}_g \cdot g \geq \mathrm{scal}_0 \cdot g_0$ を満たす任意の計量 $g$ に対して、$g$ は $g_0$ の定数倍に他ならない。標準球面 $S^{2m}$ の場合、条件はさらに弱まり、$\mathrm{scal}_g \geq (2m-1)\cdot\mathrm{tr}_g(g_0)$ にまで弱められるが、依然として $g$ が標準計量の定数倍であることを示唆する。

ABSTRACT

A classic result by Gromov and Lawson states that a Riemannian metric of non--negative scalar curvature on the Torus must be flat. The analogous rigidity result for the standard sphere was shown by Llarull. Later Goette and Semmelmann generalized it to locally symmetric spaces of compact type and nontrivial Euler characteristic. In this paper we improve the results by Llarull and Goette, Semmelmann. In fact we show that if $(M,g_0)$ is a locally symmetric space of compact type with $χ(M) eq 0$ and $g$ is a Riemannian metric on $M$ with $\mathrm{scal}_g\cdot g\geq \mathrm{scal}_0\cdot g_0$, then $g$ is a constant multiple of $g_0$. The previous results by Llarull and Goette, Semmelmann always needed the two inequalities $g\geq g_0$ and $\mathrm{scal}_g\geq \mathrm{scal}_0$ in order to conclude $g=g_0$. Moreover, if $(S^{2m},g_0)$ is the standard sphere, we improve this result further and show that any metric $g$ on $S^{2m}$ of scalar curvature $\mathrm{scal}_g\geq (2m-1)\mathrm{tr}_g(g_0)$ is a constant multiple of $g_0$.

研究の動機と目的

• 対称空間における従来のスカラー曲率剛性結果を一般化し、計量の比例性を結論づけるために必要な仮定を弱める。
• Llarull や Goette–Semmelmann の研究で中心的役割を果たしていた面積・距離非増大写像の仮定を排除する。
• 局所的でスケーリング不変な曲率比較条件を定義し、コンパクトな対称空間上の計量に対して剛性を保証する。
• 標準球面 $S^{2m}$ における剛性条件を、点ごとの計量比較からトレースに基づく不等式へと弱める。
• 幾何的写像仮定の代わりに、関数に基づく比較法を用いることで、スカラー曲率剛性に関する結果を統一的かつ拡張する。

提案手法

• 多様体上に非負の関数を導入し、スカラー曲率の上界を定める。これにより、グローバルな写像条件の必要性を排除する。
• ディラック作用素とスピン幾何を用いて、$\widehat{A}$-特性類と指数理論を通じて曲率比較を導出する。
• 計量 $\overline{g} = \alpha g$ を持つリーマン的な部分被覆写像 $f: (M, \overline{g}) \to (M_0, g_0)$ を定義し、水平および垂直分布におけるリッチ曲率の分解を分析する。
• 水平バンドル上のリッチテンソルのトレースを用いて、$\alpha$, $\mathrm{d}\alpha$, および曲率項を含む重要な偏微分方程式を導出する。
• 得られた方程式に対して部分積分を適用し、曲率仮定のもとで左辺が非負、右辺が非正であることを示す。
• 結論として、$\mathrm{d}\alpha = 0$, $|A|^2 = 0$, および $|T|^2 = |N|^2$ が成り立つことから、$\alpha$ が定数であることが示され、したがって $g$ は $g_0$ の定数倍である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な面積・距離非増大写像の仮定なしに、コンパクトな対称空間上でのスカラー曲率剛性を確立できるか？
• RQ2 オイラー特徴量が非ゼロである対称空間上での計量の比例性を保証する、最も弱い曲率比較条件は何か？
• RQ3 標準球面 $S^{2m}$ における剛性条件を、点ごとの計量比較からトレースに基づく不等式へと弱めることは可能か？
• RQ4 従来の研究で中心的役割を果たしていたグローバルな写像に基づく仮定を、局所的で点ごとのスケーリングされたスカラー曲率比較に置き換えることは可能か？
• RQ5 オイラー特徴量または Kervaire 半特徴量が非ゼロである正規同次空間に対しても、剛性結果を拡張できるか？

主な発見

• 任意のコンパクト型の局所的に対称な空間 $(M_0, g_0)$ に対して $\chi(M_0) \neq 0$ ならば、点ごとの比較 $\mathrm{scal}_g \cdot g \geq \mathrm{scal}_0 \cdot g_0$ が成り立つとき、$g$ は $g_0$ の定数倍に他ならない。
• 標準球面 $S^{2m}$ においては、条件 $\mathrm{scal}_g \geq (2m-1)\cdot\mathrm{tr}_g(g_0)$ が成り立つと、$g$ は標準計量の定数倍に他ならない。
• 本証明では、Llarull や Goette–Semmelmann の研究で必要とされた面積・距離非増大写像の仮定を一切用いない。
• 本手法は、共形因子 $\alpha$ を持つリーマン的な部分被覆写像に依存し、曲率の偏微分方程式の積分により $\mathrm{d}\alpha = 0$ が示される。
• 積分後に得られる主要な式は $\int_M c(n,m)\alpha^{n-4}|\pi_{\mathcal{H}}\mathrm{d}\alpha|^2_g + \frac{m(n-2)}{2}\alpha^{n-4}|\pi_{\mathcal{H}^\perp}\mathrm{d}\alpha|^2_g = -\int_M 2|A|^2_{\overline{g}} + (|T|^2_{\overline{g}} - |N|^2_{\overline{g}})$ であり、$n,m \geq 3$ のとき、この式から $\mathrm{d}\alpha = 0$ が強制される。
• この結果は $|T|^2 = |N|^2$ の場合でも成り立ち、最小限のファイバー条件のもとで、計量 $g$ はリッチ平坦なファイバーを持つ局所的リーマン的積に他ならない。