[論文レビュー] Scalar-Fermion Fixed Points in the $\varepsilon$ Expansion

William H. Pannell, Andreas Stergiou|arXiv (Cornell University)|May 23, 2023

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 4

ひとこと要約

この論文はε展開におけるスカラー・フェルミオン理論を分析し、1ループの段階で異方性次元γφ ≤ 1/2 Ns εおよびγψ ≤ Ns εという普遍的な上限を導出する。フェルミオンと四次相互作用のβ関数の根に基づいて「レベル」で整理された固定点の階層的構造を特定し、各レベル内で安定固定点が一意に存在することを証明する。両方の上限を同時に満たす新しい固定点を同定し、低N_s、N_f系における完全な数値的および解析的探索により、既知および新しいCFTが特定される。

ABSTRACT

The one-loop beta functions for systems of $N_s$ scalars and $N_f$ fermions interacting via a general potential are analysed as tensorial equations in $4-\varepsilon$ dimensions. Two distinct bounds on combinations of invariants constructed from the couplings are derived and, subject to an assumption, are used to prove that at one-loop order the anomalous dimensions of the elementary fields are universally restricted by $γ_ϕ\leq\frac{1}{2}N_s\,\varepsilon$ and $γ_ψ\leq N_s\,\varepsilon$. For each root of the Yukawa beta function there is a number of roots of the quartic beta function, giving rise to the concept of `levels' of fixed points in scalar-fermion theories. It is proven that if a stable fixed point exists within a certain level, then it is the only such fixed point at that level. Solving the beta function equations, both analytically and numerically, for low numbers of scalars and fermions, well-known and novel fixed points are found and their stability properties are examined. While a number of fixed points saturate one out of the two bounds, only one fixed point is found which saturates both of them.

研究の動機と目的

• 一般のヤクバイおよび四次相互作用を持つスカラー・フェルミオン理論の全固定点を、ε展開を用いて体系的に探索すること。
• スカラーおよびフェルミオン場の異方性次元に対する普遍的な1ループの上限を導出すること。
• ヤクバイおよび四次β関数の根の数に基づいて固定点を「レベル」で分類すること。
• 各レベル内で安定固定点が一意に存在することを証明し、両方の上限を同時に満たす唯一の固定点を同定すること。
• 小規模なN_sおよびN_fに対して、既知および新しい臨界固定点を数値的および解析的に同定すること。

提案手法

• 4−ε次元における一般の相互作用を持つNsスカラーおよびNfフェルミオンの1ループβ関数を導出する。
• 結合定数のテンソル的構造を用いて、ヤクバイおよび四次結合定数から構成される不変量に対する2つの普遍的上限を導出する。
• β関数の流れの安定性行列を分析し、εを普遍的な正の固有値、および対称性が破れた場合のゼロ固有値を同定する。
• ヤクバイおよび四次β関数の根の対応関係を用いて「レベル」の概念を導入する。
• 低N_sおよびN_fにおけるβ関数方程式の解析的および数値的解法を実施し、完全な安定性解析を含む。
• 結合定数空間におけるブルートフォース探索を実施し、安定性行列の固有値解析による妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー・フェルミオン理論におけるスカラーおよびフェルミオン場の異方性次元は、ε展開の1ループ段階で、どのような普遍的上限に制約されるか？
• RQ2 ヤクバイおよび四次β関数の根の数に基づいて、固定点はどのように構造化されており、この階層的構造にどのような意味があるか？
• RQ3 各レベル内で、安定固定点が一意に存在するか？そのような固定点が存在する条件は何か？
• RQ4 導出された不変量の両方の上限を同時に満たす固定点は、存在するか？もし存在するならば、それは何か？
• RQ5 Ns=3、Nf=1および他の低N_s、N_f系において、どのような新しいまたは既知の臨界固定点が出現するか？

主な発見

• 1ループ段階で、スカラー場の異方性次元はγφ ≤ 1/2 Ns ε、フェルミオン場の異方性次元はγψ ≤ Ns εという普遍的上限に制約される。
• ヤクバイおよび四次β関数の根の数に基づいて「レベル」で定義される固定点の階層的構造が出現する。
• 各レベルにおいて、安定固定点が存在する場合、それはそのレベルで唯一の安定固定点であることが保証され、条件を満たす限り一意性が証明される。
• 両方の上限を同時に満たす固定点は唯一つであり、理論空間における特別な役割を果たしていることが示唆される。
• 数値的および解析的解法により、既知の固定点（例：GNY、NJLY）および低N_s、N_f設定における多数の新しい固定点が特定された。
• 安定性行列には常に正の固有値εと、グローバル対称性が破れた場合のゼロ固有値が存在し、これは正確にマージナルなオペレーターではなく、全微分の摂動に相当する。