[論文レビュー] Scalar Field Cosmologies Hidden Within the Nonlinear Schrodinger Equation

James E. Lidsey|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、径方向2次元非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の力学と、自己相互作用スカラー場およびバロトロピック流体で駆動される空間的に平坦で等方的な宇宙論的モデルとの間で、明確な数学的対応関係を確立する。Ermakov-Pinney方程式を通じてNLS波動関数のモーメントをフリードマン方程式に写像することにより、宇宙論的解析的手法—特にハミルトニアン＝ジャコビ形式—を非線形量子系に適用可能であることを示し、両者に共通する形不変性構造を明らかにするとともに、正確な解法アルゴリズムの構築を可能にする。

ABSTRACT

The nonlinear, cubic Schrodinger (NLS) equation has numerous physical applications, but in general is very difficult to solve. Nonetheless, under certain circumstances parameters quantifying the width, momentum and energy of the wavefunction evolve under a closed set of ordinary differential equations. It is shown that for the case of the radial, two dimensional NLS equation, such evolution equations may be mapped directly onto the cosmological Friedmann equations for a spatially flat and isotropic universe sourced by a self-interacting scalar field and a barotropic perfect fluid. Consequently, analytical techniques that have been developed to study the dynamics of such cosmological models may be applied to gain insight into aspects of nonlinear quantum mechanics. In this paper, the Hamilton-Jacobi formalism of the Friedmann equations, where the scalar field is viewed as the dynamical variable, is developed within this context. Algorithms for finding exact solutions are presented and the scaling solutions determined. A form-invariance of the wavefunction evolution equations is identified. The analysis has direct applications to anisotropic Bose-Einstein condensation. The Ermakov-Pinney equation plays a central role in establishing the correspondence between the quantum-mechanical and gravitational systems.

研究の動機と目的

• 径方向2次元非線形シュレーディンガー方程式の力学と、スカラー場およびバロトロピック流体で駆動される空間的に平坦で等方的な宇宙論的モデルとの間で、形式的かつ方程式レベルの対応関係を確立すること。
• スカラー場宇宙論で一般的に用いられるハミルトニアン＝ジャコビ形式を、NLS系のモーメント時間発展方程式に適用し、それらを1階の常微分方程式系として再定式化すること。
• 得られた常微分方程式系に現れる形不変性を特定・特徴づけ、非局所変換を通じて膨張解と収縮解を結びつけること。
• Ermakov-Pinney方程式の正確な解法アルゴリズムを構築し、それらをNLSおよび宇宙論的系への応用を示すこと。
• この対応関係が高次元NLS方程式に一般化される条件、特に共形不変性との関係を調査すること。

提案手法

• 径方向2次元NLS方程式にモーメント法を適用し、波動関数の積分として幅、運動量、エネルギーなどの物理量を定義する。
• これらのモーメントの時間発展を、1階の常微分方程式（ODE）の連立系として導出する。
• 波動関数の幅の時間発展を支配する中心的力学方程式としてErmakov-Pinney方程式を同定する。
• 時間の再パrametrizationおよび従属変数の変更を通じて、量子力学的変数（波動関数のモーメント）と宇宙論的パラメータ（スケール因子、エネルギー密度など）との間の辞書的対応関係を確立する。
• ハミルトニアン＝ジャコビ形式をモーメント方程式に適応し、宇宙時間の代わりにスカラー場を独立な力学的変数として扱う。
• 非局所変換の下で、膨張解から収縮解への写像においてもODE系が不変であるという形不変性を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径方向2次元非線形シュレーディンガー方程式の力学は、空間的に平坦で等方的な宇宙論的モデルのフリードマン方程式に正式に写像可能か？
• RQ2 宇宙論で一般的に用いられるハミルトニアン＝ジャコビ形式は、NLS系のモーメント時間発展方程式にどのように適応可能か？
• RQ3 導出されたODE系に観察される形不変性の性質は何か？また、膨張・収縮配置の間の物理的双対性とどのように関係するか？
• RQ4 この対応関係は、共形不変性と関係して、高次元NLS方程式にどのような条件下で一般化可能か？
• RQ5 Ermakov-Pinney方程式の正確な解法アルゴリズムを構築し、それらを量子系および宇宙論的系に応用可能か？

主な発見

• 径方向2次元非線形シュレーディンガー方程式のモーメント時間発展方程式は、自己相互作用スカラー場およびバロトロピック流体で駆動される空間的に平坦で等方的な宇宙論的モデルのフリードマン方程式と正式に同等である。
• Ermakov-Pinney方程式は、両系を結ぶ中心的ブリッジとして機能し、両者において波動関数の幅の時間発展を支配する。
• ハミルトニアン＝ジャコビ形式がモーメント方程式に成功裏に適用され、スカラー場が独立変数として機能する1階の常微分方程式系に再定式化された。
• ODE系に形不変性が存在し、膨張解から収縮解への非局所変換の下でも方程式系が不変であることが示された。
• スケーリング解が同定され、変換パラメータが $ \tilde{\tau}-\tilde{\tau}_{0}=\Omega_{\phi}/[8(\tau-\tau_{0})] $ を満たす自己双対解が発見された。
• この対応関係は、$ d $-次元NLS方程式に一般化可能であり、共形条件 $ md = d + 2 $ を満たす場合に限る。このとき、スケール不変性が保証され、モーメント系は2次元の場合と同じ形に簡略化される。