[論文レビュー] Scalar fields in the nonsymmetric Kaluza-Klein (Jordan-Thiry) theory

M. W. Kalinowski|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 142被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非対称カルラツァ＝クライン理論（ジョルダン＝ティリ理論）において、場の強度 $ L^n_{\omega\mu} $ と $ H^n_{\mu\nu} $ の明示的表現を導出する。これらはリーマン・クリヴォツァ記号を介して3次元のベクトル場 $ \vec{E}^a $, $ \vec{B}^a $, $ \vec{D}^a $, $ \vec{H}^a $ と関連づけられる。主たる貢献は、カルラツァ＝クラインのゲージ場を3次元空間における電磁気的類似量に写像するテンソル形式を提供することであり、高次元重力理論におけるスカラー場とゲージ場の幾何学的統一を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we construct the Nonsymmetric Jordan-Thiry Theory unifying N.G.T., the Yang-Mills' field, the Higgs' fields and scalar forces in a geometric manner. In this way we get masses from higher dimensions. We discuss spontaneous symmetry breaking, the Higgs' mechanism and a mass generation in the theory. The scalar field (as in the classical Jordan-Thiry Theory) is connected to the effective gravitational constant. This field is massive and has Yukawa-type behaviour. We derive the equation of motion for a test particle from conservation laws in the hydrodynamic limit. We consider a truncation procedure for a tower of massive scalar fields using Friedrichs' theory and an approximation procedure for the lagrangian involving Higgs' field. The geodetic equations on the Jordan-Thiry manifold are considered with an emphasis to terms involving Higgs' field. We consider also field equations in linear approximation. We consider a dynamics of Higgs' field in the framework of cosmological models involving the scalar field. The scalar field plays here a role of a quintessence field. We consider phase transition in cosmological models of the second and the first order. We consider a warp factor known from some modern approaches. We consider a toy model of a time-machine. We consider a mass of a quintessence particle, various properties of a quintessence field. We calculate a speed of sound in a quintessence and fluctuations of a quintessence caused by primordial metric fluctuations.

研究の動機と目的

• 非対称カルラツァ＝クライン理論における場の強度 $ L^n_{\omega\mu} $ の明示的表現を導出すること。
• $ H^n_{\mu\nu} $ と $ L^n_{\mu\nu} $ の場の強度を3次元ベクトル場 $ \vec{E}^a $, $ \vec{B}^a $, $ \vec{D}^a $, $ \vec{H}^a $ を用いて表現すること。
• リーマン・クリヴォツァ記号を用いて、カルラツァ＝クラインのゲージ場と3次元空間における電磁気的類似場との幾何的対応関係を確立すること。
• 非対称計量を有する高次元重力理論においてスカラー場とゲージ場を統一するテンソル的枠組みを提供すること。

提案手法

• 式 (5.22) を用いて、計量 $ g_{\mu\nu} $、非対称接続 $ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} $、5次元計量の対称部分 $ h_{ab} $ および反対称部分 $ k_{ab} $ を用いて $ L^n_{\omega\mu} $ を導出する。
• 場の強度 $ H^n_{\mu\nu} $ および $ L^n_{\mu\nu} $ の成分をそれぞれ表すために、3次元ベクトル場 $ \vec{E}^a $, $ \vec{B}^a $, $ \vec{D}^a $, $ \vec{H}^a $ を導入する。
• 双対化を介して場の強度と3次元ベクトル場を関連付けるために、リーマン・クリヴォツァ記号 $ \varepsilon_{\bar{a}\bar{b}\bar{c}} $ を用いる：$ B_{\bar{a}}^a = -\frac{1}{2} \varepsilon_{\bar{a}}{}^{\bar{b}\bar{c}} H_{bc}^a $。
• 計量 $ g^{\omega\tau} $ および $ g^{\nu\varepsilon} $ を用いたインデックスの上昇により、$ L^n_{\omega\nu} $ から $ L^{n\tau\varepsilon} $ を得る。
• $ H^n_{\mu\nu} $ および $ L^n_{\mu\nu} $ を、それぞれ3次元ベクトル場から導かれる成分を持つ4×4の反対称行列として定義する。
• 双対関係を確立する：$ H^{\bar{a}a} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{\bar{a}}{}_{\!\bar{b}\bar{c}} L^{a\bar{b}\bar{c}} $ および $ L^{a\bar{c}\bar{m}} = -\varepsilon^{\bar{c}\bar{m}}{}_{\!\bar{e}} H^{\bar{e}a} $ により、場の強度とベクトル場の間の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称カルラツァ＝クライン理論における場の強度 $ L^n_{\omega\mu} $ は、幾何学的およびゲージ場の観点からどのように明示的に表現できるか？
• RQ2 3+1次元分解における5次元カルラツァ＝クライン場の強度と3次元電磁気的類似ベクトル場との間の正確な写像関係は何か？
• RQ3 リーマン・クリヴォツァ記号 $ \varepsilon_{\bar{a}\bar{b}\bar{c}} $ 及びその双対記号は、反対称場の強度とベクトル場 $ \vec{E}^a $, $ \vec{B}^a $, $ \vec{D}^a $, $ \vec{H}^a $ の間にどのように関係するか？
• RQ4 5次元計量の対称部分および反対称部分が、場の強度とその双対性を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 テンソル双対性を用いて、カルラツァ＝クラインのゲージ場を体系的に3次元ベクトル場形式に再表現できるか？

主な発見

• 場の強度 $ L^n_{\omega\mu} $ は、計量 $ g_{\mu\nu} $、対称部分 $ h_{ab} $、反対称部分 $ k_{ab} $、接続係数を関数として明示的に導出され、複数の縮約および計量の逆行列を含む複雑な式となる。
• 場の強度 $ H^n_{\mu\nu} $ は、3次元ベクトル場 $ \vec{E}^a $ および $ \vec{B}^a $ と直接関連する4×4の反対称行列として表現され、$ H^n_{\mu\nu} $ はゲージ場の電気的および磁気的成分を符号化する。
• 場の強度 $ L^n_{\mu\nu} $ も同様に、$ \vec{D}^a $ および $ \vec{H}^a $ を用いた4×4の反対称行列として表現され、$ D^{\bar{a}a} = L^{a4\bar{a}} $ および $ H^{\bar{a}a} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{\bar{a}}{}_{\!\bar{b}\bar{c}} L^{a\bar{b}\bar{c}} $ により双対性が確立される。
• 双対関係 $ B_{\bar{a}}^a = -\frac{1}{2} \varepsilon_{\bar{a}}{}^{\bar{b}\bar{c}} H_{bc}^a $ および $ H^{\bar{a}a} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{\bar{a}}{}_{\!\bar{b}\bar{c}} L^{a\bar{b}\bar{c}} $ が明示的に導出され、3次元ベクトル場表現の整合性が示される。
• 場の強度 $ L^n_{\omega\mu} $ は5次元計量およびその逆行列に依存し、$ \mu $、$ h_{ab} $、$ k_{ab} $、接続 $ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} $ を含む項を含むため、重力場とゲージ場の非自明な結合が示唆される。
• 形式的枠組みにより、5次元カルラツァ＝クライン場と3次元電磁気的類似場との完全なテンソル的対応関係が確立され、スカラー場およびゲージ場が3次元ベクトルポテンシャルの観点から幾何学的に解釈可能となる。