[論文レビュー] Scale-independent mixing laws

Bernard Montaron|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有効媒体理論におけるスケール不変性を満たす混合則の数学的形を導出し、スケール不変性を満たすのは対数関数（幾何平均）およびべき乗則（べき平均）の2つの関数形に限られることを証明している。主な結果は、すべてのパラメータを正の要因でスケーリングしても不変であるような混合則は、f(x) = A ln(x) + B または f(x) = A x^p + B のいずれかに限られ、すべてのこのような混合則がこの2つの普遍的形に帰着されることを示している。

ABSTRACT

Mixing laws have been introduced in effective medium physics to calculate a bulk parameter of mixtures of several phases as a function of the parameter values and volume fractions for each phase. They have been successfully applied to derive mixture models for dielectric constant, thermal conductivity, electrical conductivity, etc. Studied here are mixing laws that can be written in the form f(x)=a1.f(x1)+...+ak.f(xk) with a1+a2+...+ak=1 where f() is a continuous function applied to a bulk parameter x of a mixture of several phases with bulk parameters x1,...,xk and volume fractions a1,...,ak. In the case of scale-independent mixing laws, i.e. such that for all t>0 t.f(x)=a1.f(t.x1)+...+ak.f(t.xk) it is shown that f() can take only two forms: f(x)=A.lnx+B or f(x)=Ax^p+B. Therefore scale-independent mixing laws can only be the geometric mean x=x1^a1....xk^ak or the 'power mean' x^p=a1.x1^p+...+ak.xk^p.

研究の動機と目的

• スケール不変性を満たす混合則の数学的形を特定すること。
• スケーリング変換の下での有効媒体近似にかかる理論的制約を解明すること。
• すべての相のパラメータを共通の要因 t でスケーリングしても不変であるような混合則の関数形を特定すること。
• その関数的構造に基づいて、スケール不変性を持つ混合則を完全に分類すること。

提案手法

• 本稿は、f(x) = a₁f(x₁) + ... + akf(xk) の形をとる混合則を分析し、ここで ∑ai = 1 であり、f は連続関数であると仮定する。
• スケール不変性の条件を課す：すべての t > 0 に対して t·f(x) = a₁f(t·x₁) + ... + akf(t·xk) が成り立つ。
• スケール不変性の下での関数方程式を解析し、一般解のクラスを導出する。
• 関数方程式の技法を用いて、スケール不変性制約を満たすすべての連続解を分類する。
• その結果、f(x) = A ln(x) + B または f(x) = A x^p + B の2通りの形が得られる。
• 得られた混合則は、f(x) = ln(x) のとき幾何平均、f(x) = x^p のときべき平均に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての相のパラメータを正の要因 t でグローバルにスケーリングしても不変であるような混合則の関数形は何か？
• RQ2 すべてのスケール不変性を持つ混合則は、有限個の数学的形に分類可能か？
• RQ3 スケール不変性は、有効媒体の性質が相の性質に依存する関数的依存性にどのような制約を課えるか？
• RQ4 スケール不変性を満たす混合則は、multiphase システムにおいて、2つの普遍的クラスに限られるか？
• RQ5 スケール不変性の下で、幾何平均およびべき平均の法則がなぜ唯一の可能な解として現れるのか？

主な発見

• すべての t > 0 に対して、スケール不変性条件 t·f(x) = a₁f(t·x₁) + ... + akf(t·xk) を満たす唯一の連続関数 f(x) は、f(x) = A ln(x) + B または f(x) = A x^p + B のみである。
• 幾何平均の混合則 x = x₁^a₁ ... xₖ^aₖ は、f(x) = ln(x) の特別な場合として得られる。
• べき平均の混合則 x^p = a₁x₁^p + ... + akxₖ^p は、f(x) = x^p のとき得られる。
• すべてのスケール不変性を持つ混合則は、この2つの普遍的形のいずれかに帰着される。
• 関数形 f(x) = A ln(x) + B は対数平均に対応し、これが幾何平均則の背後にある根拠である。
• 分類により、有効媒体理論の文脈において、これらの2つ以外の関数形はスケール不変にはなり得ないことが証明された。