[論文レビュー] Scale invariance: fake appearances

Israel Quirós|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、重力理論におけるスケール不変性が、作用と時空のアフィン幾何的構造の両方がWeylゲージ変換に対して不変である場合にのみ整合的であると主張している。標準的なリーマン幾何学は、共形変換の下でスケール不変性を破るため、Brans-Dicke重力（ω = −3/2）のような多くの有名な理論におけるWeyl不変性の主張は、時空幾何学をWeyl可積分幾何学に昇格させない限り無効である。Weyl可積分幾何学は、幾何学的レベルでスケール対称性を保存する。

ABSTRACT

In this paper we shall show that, unless the affine geometrical structure of the underlying spacetime manifold is specified, there is an ambiguity in the understanding of the scale invariance -- also Weyl invariance -- of the given theory of gravity. In this regard we cast doubts on several well-known theories which are claimed to be scale-invariant setups. We shall show that in a consistent scale invariant theory not only the action but also the geometrical laws which govern the affine structure of the underlying spacetimes are invariant under the Weyl gauge transformations.

研究の動機と目的

• スケール不変性（Weyl不変性）が、計量的重力理論において真に実現される条件を明確化すること。
• 作用のWeyl不変性のみを仮定するという誤りを特定し、時空のアフィン幾何的構造の不変性を要請しないことの問題点を明らかにすること。
• 一般的にスケール不変性理論に用いられるリーマン幾何学が、非不変な測地線方程式のおかげで完全なWeyl不変性と不一致することを示すこと。
• 物質場と結合された際、Weyl可積分幾何学に基づく理論のみが一貫してスケール不変性を実現できることを主張すること。
• Weyl不変性重力モデルにおける測地線の完全性と特異点の解決に関する文献における誤解を是正すること。

提案手法

• Weylゲージ変換の下でのLevi-Civita接続の変換性を分析し、アフィン構造の不変性を評価すること。
• リーマン幾何学とWeyl可積分幾何学におけるリーマン曲率テンソルとLevi-Civita接続のWeyl変換性を比較すること。
• Weyl変換の下での測地線方程式の変換を導出し、リーマン的測地線が不変でないことを示すこと。
• 式 (1) と式 (3) の作用を事例として用い、Riemann的背景においては、スケール不変性を保つのは、共形的に結合されたスカラー場と放射線に限ることを示すこと。
• 質量のある物質場や非共形的結合が、5力（重力的でない力）を導入し、Weyl不変性を破ることを確立すること。
• Weyl可積分幾何学を、重力と物質の結合において完全なWeyl不変性を実現するための必須の幾何的枠組みとして提唱すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ多くの理論がWeyl不変性を主張しているが、物質場が含まれるとスケール不変性を維持できないのか？
• RQ2 時空のアフィン構造は、計量的重力理論におけるWeyl不変性の整合性にどのように影響するのか？
• RQ3 Levi-Civita接続は、共形変換の下でWeyl不変性をどのように破るのか？
• RQ4 なぜRiemann幾何学に基づくWeyl不変宇宙論における測地線の完全性の主張は誤りなのか？
• RQ5 もしその背後にある時空幾何学がWeyl不変でなければ、一貫したスケール不変性重力理論は存在可能か？

主な発見

• 式 (1) と式 (3) の作用は、時空幾何学がWeyl可積分的である場合にのみWeyl不変である。
• リーマン幾何学は、Levi-Civita接続がWeylゲージ変換の下で非自明に変換されるため、Weyl不変性を破る。
• Riemann的時空では、時間的粒子の測地線方程式がWeyl変換に対して不変でないため、スケール不変性の破綻を示唆する。
• Riemann的背景においては、スケール不変性を保つために、共形的に結合されたスカラー場と放射線のみが一貫して結合可能である。
• 質量のある物質場の導入は、非重力的起源の5力をもたらし、Weyl不変性を明示的に破る。
• Weyl可積分幾何学は、Weyl変換の下で作用とアフィン構造の両方を保存するため、完全にWeyl不変な重力理論を実現するための必要不可欠な幾何的枠組みである。