[論文レビュー] Scaling at the onset of chaos in a network of logistic maps with two types of global coupling

Anna S. Ivanova, С. П. Кузнецов|ArXiv.org|Aug 21, 2002

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、慣性的結合と散逸的結合の両方を有するグローバルに結合したロジスティック写像のネットワークを提案し、慣性的結合が、純粋に散逸的結合と比較して、多安定性や複数のクラスタ形成を含むより豊かな動的挙動を可能にすることを示している。混沌の始まりに近い領域で普遍的なスケーリング則が確立され、フェイゲンバックのスケーリング変換のもとで位相図が自己相似構造を示すことが確認され、複雑系における情報処理への応用が示唆される。

ABSTRACT

We study a network of logistic maps with two types of global coupling, inertial and dissipative. Features of the clusterization process are revealed and compared, which are associated with presence of each type of couplings. For the parameter region near the onset of chaos we outline scaling properties in dynamical behavior of the network and illustrate them on the Kaneko phase diagrams.

研究の動機と目的

• グローバルに結合したロジスティック写像のネットワークにおける、二種類の異なるタイプのグローバル結合（慣性的および散逸的）の動的挙動を調査すること。
• それぞれの結合タイプから生じるクラスタ化現象および位相空間構造、特に混沌の始まりに近い領域での挙動を比較すること。
• ネットワークの位相図に普遍的なスケーリング性が存在することを確立し、既知のフェイゲンバックのスケーリングをグローバルに結合した系へと拡張すること。
• 動的豊かさと安定性の特徴を評価することで、このようなネットワークが情報処理にどう応用可能かを評価すること。
• 個々の写像や写像格子とは異なり、結合写像ネットワークへ応用可能なレノルマリゼーション群（RG）スケーリング則の妥当性を検証すること。

提案手法

• 平均場 $ F_n^{(1)} = N^{-1} \sum x_n(j) $ および $ F_n^{(2)} = N^{-1} \sum f(x_n(j)) $ を用いて、線形（慣性的）および非線形（散逸的）の二つのグローバル結合項を有する結合写像系を定式化する。
• ランダムな初期条件を有するネットワークアンサンブルからのクラスタ統計に基づき、カネコの位相分類（C, O, PO, T）を用いる。
• フェイゲンバックのスケーリングを適用：パラメータの再スケーリング $ \lambda \to \lambda + \frac{\lambda - \lambda_c}{\delta} $、$ \varepsilon_I \to \frac{\varepsilon_I}{\alpha} $、$ \varepsilon_D \to \frac{\varepsilon_D}{2} $、初期条件範囲 $ C \to \frac{C}{|\alpha|} $ を行い、$ \alpha \approx 2.5029 $、$ \delta \approx 4.6692 $ とする。
• 位相図（図1a, 1b）と再スケーリングされた図（図1c, 1d）を比較することで、動的位相のスケーリング不変性を検証する。
• 複数の実現におけるクラスタ構成の頻度に基づき、数値シミュレーションを用いて位相を分類する。
• 結合タイプの役割を分析するため、慣性的結合では $ \varepsilon_2 = 0.088\varepsilon_1 $ を固定し、純粋な散逸的結合の場合は $ \varepsilon_1 = 0 $ とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルに結合したロジスティック写像において、慣性的結合を組み込むことで、純粋に散逸的結合と比較してクラスタ化ダイナミクスはどのように変化するか？
• RQ2 個々の写像や写像格子で観測された既知の普遍的スケーリング則は、混合結合タイプを有するグローバルに結合したネットワークへと拡張可能か？
• RQ3 結合タイプと、亜臨界定域および臨界定域における多安定位相（O, PO）の出現との関係は何か？
• RQ4 このネットワークモデルにおいて、位相図がフェイゲンバックのスケーリング変換に対してどの程度不変性を保っているか？
• RQ5 特に秩序位相および部分的に秩序位相において、ネットワークの動的豊かさは、情報処理への応用にどう活用可能か？

主な発見

• 慣性的結合を有するネットワークは、純粋に散逸的結合のケースと比較して著しく豊かな動的挙動を示し、亜臨界定域でさえも秩序位相（O）および部分的に秩序位相（PO）の出現を示す。
• 慣性的結合の位相図（図1a）と再スケーリングされたバージョン（図1c）は、自己相似構造を示しており、パrameter再スケーリングのもとでのフェイゲンバックスケーリングの有効性が確認される。
• スケーリング変換 $ \lambda \to \lambda + \frac{\lambda - \lambda_c}{\delta} $、$ \varepsilon_I \to \frac{\varepsilon_I}{\alpha} $、$ \varepsilon_D \to \frac{\varepsilon_D}{2} $、$ C \to \frac{C}{|\alpha|} $ は、位相タイプ（例：O または T）を保存し、時間スケールを2倍にする。これにより普遍的スケーリングが実証される。
• 慣性的結合のケースにおいて複数のクラスタと多安定性が観測されることから、散逸的結合のケースと比較して、情報記憶および処理への潜在的応用性が高まると考えられる。
• 有限距離における臨界定域からの逸脱に対してもスケーリング性が頑健であるため、漸近的極限にとどまらず、実用的応用においても有効である。
• 本結果により、フェイゲンバック遷移の普遍性クラスがグローバルに結合したネットワークへと拡張可能であることが確認され、電子工学、生物学、経済学などのさまざまな物理系への広範な応用可能性が示唆される。