[論文レビュー] Scaling laws for non-Euclidean plates and the $W^{2,2}$ isometric immersions of Riemannian metrics

Marta Lewicka, Reza Pakzad|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Advanced Materials and Mechanics参考文献 9被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、リーマン空間への等長埋め込みからの逸脱をペナルティ化する修正された非線形弾性汎関数を導入することで、非ユークリッドな弾性板のスケーリング法則を確立する。スケーリングされたエネルギーの Γ-極限が曲率に基づく汎関数となることを証明し、2次元リーマン計量が ℝ³ に W^{2,2} 等長埋め込みをもつための必要十分条件を導出し、弱い正則性仮定のもとで長年の微分幾何学的問題を解決する。

ABSTRACT

This paper concerns the elastic structures which exhibit non-zero strain at free equilibria. Many growing tissues (leaves, flowers or marine invertebrates) attain complicated configurations during their free growth. Our study departs from the 3d incompatible elasticity theory, conjectured to explain the mechanism for the spontaneous formation of non-Euclidean metrics. Recall that a smooth Riemannian metric on a simply connected domain can be realized as the pull-back metric of an orientation preserving deformation if and only if the associated Riemann curvature tensor vanishes identically. When this condition fails, one seeks a deformation yielding the closest metric realization. We set up a variational formulation of this problem by introducing the non-Euclidean version of the nonlinear elasticity functional, and establish its $Γ$-convergence under the proper scaling. As a corollary, we obtain new necessary and sufficient conditions for existence of a $W^{2,2}$ isometric immersion of a given 2d metric into $\mathbb R^3$.

研究の動機と目的

• 非互換なターゲット計量に起因する自発的曲率を示す薄板における非ユークリッド弾性の変分的基礎を提供すること。
• 標準的な弾性汎関数の失敗を克服するため、方向を保つ変形を強制し、ゼロエネルギーの病理的解を避ける修正エネルギーを導入すること。
• 板の厚さ h \to 0 のときの薄板の最小エネルギーのスケーリング法則を導出すること。エネルギーのスケーリングがターゲット計量の幾何的埋め込み可能性と関連することを示す。
• 2次元リーマン計量が ℝ^3 に W^{2,2} 等長埋め込みをもつための必要十分条件を確立すること。古典的結果を弱い正則性へと拡張する。

提案手法

• 指定されたターゲット計量 g_{\alpha\beta} からの引き戻し計量との L^2-距離を測る非ユークリッド弾性汎関数 I^h(u) を導入し、方向を保たない変形に対して局所的ペナルティを課す。
• スケーリングされたエネルギー \frac{1}{h^2}I^h(u^h) の h \to 0 における極限を分析するために Γ-収束技法を適用する。
• 第二基本形式と二次形式 \mathcal{Q}_2 および \mathcal{Q}_3 を含む曲率汎関数として表される Γ-極限を導出する。これらは弾性エネルギー密度のヘッセ行列と関連する。
• 変形勾配のテイラー展開に基づく回復列の構成を用い、\nabla u^h = Q^h + x_3 A_2^h + \frac{x_3^2}{2} D^h とすることで、W^{1,2} での収束とエネルギーのスケーリングを制御する。
• 幾何的剛性推定とフレーム不変性を用いて、極限エネルギーをターゲット計量の内面的曲率に関連付ける。
• 第二基本形式に作用する二次形式 \mathcal{Q}_2 の消滅による W^{2,2} 等長埋め込みの新しい特徴付けを適用し、主要な存在条件に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 板の厚さ h \to 0 のとき、非ユークリッドな薄板の最小弾性エネルギーの正しいスケーリングは何か？
• RQ2 スケーリングされたエネルギー汎関数の Γ-極限は、ターゲット計量の幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ3 2次元リーマン計量が ℝ^3 に W^{2,2} 等長埋め込みをもつための条件は何か？
• RQ4 Γ-極限は、ターゲット計量の内面的幾何を捉える曲率に基づく汎関数として表現可能か？
• RQ5 非互換な弾性において、ゼロエネルギーの病理的解を防ぐために方向を保つ変形が果たす役割は何か？

主な発見

• スケーリングされたエネルギー \frac{1}{h^2}I^h(u^h) の Γ-極限は、第二基本形式に \mathcal{Q}_2 を作用させた曲率汎関数として与えられる。
• 最小エネルギーが h^2 に比例する（かつただそれだけに比例する）のは、ターゲット計量が ℝ^3 に W^{2,2} 等長埋め込みをもつ場合に限る。それ以外の場合は、下限エネルギーが正に保たれる。
• W^{2,2} 等長埋め込みが存在するための必要十分条件は、第二基本形式に作用する二次形式 \mathcal{Q}_2 が消えることである。これは第二基本形式が恒等的に消えることを意味する。
• エネルギーが極限で消える場合、極限変形 y \in W^{2,2}(\Omega, \mathbb{R}^3) は平面的（つまり y: \Omega \to \mathbb{R}^2）でなければならない。これは表面が平面上にあることを意味する。
• 変形勾配のテイラー展開に基づく回復列 u^h は、Γ-極限が曲率に基づく汎関数と一致することを保証し、h \to 0 のとき誤差項が L^2-意味で消える。
• 本稿は、より高い正則性を要する従来の結果を拡張する変分的枠組みを用いて、W^{2,2} 等長埋め込みを特徴付けることにより、微分幾何学における長年の問題を解決する。