[論文レビュー] Scaling limit of multitype Galton-Watson trees with infinitely many types

Loïc de Raphélis|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、2種類の型を持つエッジ長付きの新しいクラスのガロン＝ウォーソン木—「リーフド（葉付き）」と呼ばれる木—を導入することで、可算無限個の型を持つマルチタイプ・ガロン＝ウォーソン森のスケーリング極限を確立する。そのうちの1種類の型は不妊の葉として機能する。弱いモーメント条件および混合性条件の下で、このような森の重み付き高さ関数は分布収束により反射ブラウン運動に収束し、Miermontの有限型森に対する結果を、木の縮小技術を用いて無限型の場合に拡張する。

ABSTRACT

We introduce a certain class of 2-type Galton-Watson trees with edge lengths. We prove that, after an adequate rescaling, the weighted height function of a forest of such trees converges in law to the reflected Brownian motion. We then use this to deduce under mild conditions an invariance principle for multitype Galton--Watson trees with a countable number of types, thus extending a result of G. Miermont on multitype Galton--Watson trees with finitely many types.

研究の動機と目的

• 有限種類の型を持つ臨界マルチタイプ・ガロン＝ウォーソン森の不変性原理をG. Miermontが示したものから、可算無限個の型への拡張を図ること。
• 弱いモーメント条件および混合性条件の下で、このような森の重み付き高さ関数のスケーリング極限を確立すること。
• 無限型問題を扱いやすい2型枠組みに還元する技術的道具として、「エッジ長付きのリーフド・ガロン＝ウォーソン木」を導入し、その分析を行うこと。
• Miermontの手法にインspiredされた木の縮小法を用いて、高さ関数の分布収束を反射ブラウン運動に証明すること。
• スケーリング極限が成り立つための十分条件—特に幾何的混合性およびモーメントの上限—を提示すること。

提案手法

• エッジ長付きの2型ガロン＝ウォーソン過程を定義し、型1の頂点が生殖を行い、型0の頂点が不妊（人工的な葉として機能）する「リーフド・ガロン＝ウォーソン木」を形成する。
• 独立同分布のこのような木の森を構成し、平面性および系譜関係を扱うために、ウラム＝ハリス木上のネヴェの記法を用いてコード化する。
• 祖先の系列によって誘導される型上のマルコフ連鎖を導入し、リャプノフ関数Vとドリフト条件を用いて、幾何的混合性条件(H_R^{alt})を課す。
• 左固有ベクトル(b_x)による測度の変更を用い、元の測度における期待値を、祖先過程がマルコフ連鎖となるように変換された測度に結びつける。
• マルコフ連鎖理論（特に[17]の定理15.2.6）からのモーメントの上限および指数モーメントの推定を用いて、 hitting time および高さ関数のモーメントの尾の挙動を制御する。
• 木の縮小法により、一般のマルチタイプ木の高さ関数を、リーフド木の2型高さ関数に還元し、無限型の場合に2型極限定理を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチタイプ・ガロン＝ウォーソン森の不変性原理を、有限個の型から可算無限個の型へ拡張することは可能か？
• RQ2 可算無限個の型を持つマルチタイプ・ガロン＝ウォーソン森の重み付き高さ関数が、反射ブラウン運動に収束する条件は何か？
• RQ3 一般のマルチタイプ木の高さプロセスは、エッジ長付きの2型リーフド・ガロン＝ウォーソン木の高さプロセスとどのように関係するか？
• RQ4 スケーリングされた高さ関数のtightnessおよび収束を保証するための、モーメントおよび混合性条件は何か？
• RQ5 祖先型過程の幾何的混合性が、スケーリング極限に必要なモーメント上限を保証するために十分であるか？

主な発見

• 幾何的混合性条件(H_R^{alt})の下で、エッジ長付きのリーフド・ガロン＝ウォーソン森の重み付き高さ関数は、適切なスケーリングの後、分布収束により反射ブラウン運動に収束する。
• 条件(H_R^{alt})は、任意の初期型x_0に対してより強い条件(H_R^{x_0})を含意し、高さおよびx_0への帰還時間に関する必要なモーメント上限を保証する。
• 幾何的混合性から導かれる指数モーメント条件により、τ_{x_0}の2次のモーメントの有限性が保証され、高さプロセスのtightnessが確保される。
• 木の縮小法は、一般のマルチタイプ・ガロン＝ウォーソン木の高さプロセスを、リーフド2型木の高さプロセスにうまく結びつけることができ、極限定理の拡張を可能にする。
• 弱いモーメントおよび混合性仮定の下で、Miermontの不変性原理は、有限型から可算無限型の型空間へ一般化される。
• 祖先過程が幾何的混合性であり、エッジ長が可積分性条件を満たす限り、型空間が無限であっても収束は成り立つ。