[論文レビュー] Scaling limit of the local time of the $(1,L)-$random walk

Wenming Hong, Hui Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、(1,L)-ランダムウォークの局所時刻のスケーリング極限を、その内在的な多型型ブランチャーチング過程の構造を活用することで確立する。有限次元分布の収束とトータルネスを用いて、スケーリングされた局所時刻が弱収束し、確率微分方程式によって記述される拡散過程に収束することを証明する。これは、Rogers (1984) の単純対称ランダムウォークに対する結果を、L=1 の場合に限らないより広い (1,L) の場合へと拡張するものである。

ABSTRACT

It is well known (Donsker's Invariance Principle) that the random walk converges to Brownian motion by scaling. In this paper, we will prove that the scaled local time of the $(1,L)-$random walk converges to that of the Brownian motion. The results was proved by Rogers (1984) in the case $L=1$. Our proof is based on the intrinsic multiple branching structure within the $(1,L)-$random walk revealed by Hong and Wang (2013).

研究の動機と目的

• 単純対称ランダムウォークの一般化である (1,L)-ランダムウォークの局所時刻のスケーリング極限を確立すること。
• Hong and Wang (2013) が明らかにした内在的な多型型ブランチャーチング過程の構造を用いて、L=1 の場合にRogers (1984) が得た局所時刻収束結果を L≥2 に拡張すること。
• スケーリングされた局所時刻が弱収束し、特定の確率微分方程式を満たす拡散過程に収束することを示すこと。
• Hong and Wang (2013) が特定した内在的な多型型ブランチャーチング過程の構造を、主な解析的道具として用いること。

提案手法

• L=2 の場合に、最初の N 回の遷移における位置 j における局所時刻を、2型の臨界的ブランチャーチング過程の線形関数として表現する。ここで、粒子の型は j への遷移と j+1 への遷移に対応する。
• ブランチャーチング過程の表現を用いて、スケーリングされた局所時刻過程の有限次元分布を導出する。
• 有限次元分布の収束とトータルネスの確認により、スコロホド空間 D[0,∞) 内での弱収束を証明する。
• Nakagawa (1986) の技術を多型過程に適合させた修正を用いて、ブランチャーチング過程の2次モーメントのモーメントバウンドによりトータルネスを確立する。
• ブラウン運動のスケーリング性とレイ・ナイト定理を用いて、極限過程をブラウン運動の局所時刻に関する既知の結果と結びつける。
• 母関数と条件付きモーメント母関数を用いて、ブランチャーチング過程の増分を分析し、分布収束を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切なスケーリングの下で、(1,L)-ランダムウォークの局所時刻は極限過程に収束するか？ もし収束するならば、その極限の性質は何か？
• RQ2 (1,L)-ランダムウォークに内在する多型型ブランチャーチング過程の構造は、局所時刻のスケーリング極限を分析するために利用可能か？
• RQ3 局所時刻のスケーリング極限は、ブラウン運動の局所時刻とどのように関係しているか？ 特に、レイ・ナイト定理の観点から。
• RQ4 スコロホド位相におけるスケーリング局所時刻過程のトータルネスを保証する条件は何か？
• RQ5 極限過程は特定の確率微分方程式に従う拡散過程か？ また、その依存関係はジャンプ分布のパラメータにどのように依存するか？

主な発見

• スケーリング局所時刻過程 $ l_N(x) $ は、$ D[0,\infty) $ 内で弱収束し、確率微分方程式 $ H(x) = \frac{2}{\sigma^2} + \frac{2}{\sigma}\int_0^x (H(s)^+)^{1/2} dB_s $ を満たす拡散過程 $ H(x) $ に収束する。ここで $ B $ は標準ブラウン運動である。
• 極限過程 $ H(x) $ は、$ H(0) = \frac{2}{\sigma^2} $ を満たす連続状態ブランチャーチング過程であり、その遷移密度は $ \int e^{-\lambda y} p_t(x,dy) = \exp\left(-x \frac{\lambda}{1 + \frac{2}{\sigma^2} \lambda t}\right) $ を満たす。
• スケーリング局所時刻の有限次元分布は、モーメント母関数の分析と時間区間における帰納法により、$ H(x) $ のそれらに収束することが示された。
• 列 $ \{l_N\} $ のトータルネスは、ブランチャーチング過程の2次モーメントのバウンドと、$ \gamma=2 $、$ \alpha>1 $ のホルダー型条件の確認により確立された。これにより弱収束が保証された。
• 極限過程 $ H(x) $ は、$ \frac{1}{\sigma^2} l^*(\cdot, T) $ と分布的に等価である。ここで $ l^*(x,T) = l(x,T) + l(-x,T) $ であり、これは0におけるレベル1への最初の到達時刻までのブラウン運動の局所時刻と関連している。
• 全質量 $ 2U_{1}(n) + U_{2}(n) $ の2次モーメントは $ n $ に対して線形に増加し、漸近的レートは $ K_1 (U_0 \cdot \boldsymbol{\mu}) Q_2[\boldsymbol{\mu}] n $ である。これはトータルネスに必要なモーメント挙動を確認する。