[論文レビュー] Scaling limit results for the sum of many inverse Lévy subordinators

Ingemar Kaj, Anders Martin‐Löf|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、重い尾を持つ Lévy 測度を有する多数の逆 Lévy 下位順序統合の和について、弱収束の極限を確立する。中間スケーリング則において、プロセス数と時間スケーリングが両方とも $ a^\beta $ に比例して増加する条件下で、正規化された和は非ガウス型で非安定な長記憶過程に弱収束することが示される。一方、ガウス型スケーリング則では、極限は分数次元 Browm運動（fractional Brownian motion）となる。

ABSTRACT

The first passage time process of a Lévy subordinator with heavy-tailed Lévy measure has long-range dependent paths. The random fluctuations that appear under two natural schemes of summation and time scaling of such stochastic processes are shown to converge weakly. The limit process is fractional Brownian motion in one case and a non-Gaussian and non-stable process in the other case. The latter appears to be of independent interest as a random process that arises under the influence of coexisting Gaussian and stable domains of attraction and is known from other applications to provide a bridge between fractional Brownian motion and stable Lévy motion.

研究の動機と目的

• 重い尾を持つ Lévy 測度を有する多数の独立な逆 Lévy 下位順序統合の和の漸近的挙動を分析すること。
• プロセス数と時間スケーリングがバランスよく増加する条件下で、特にガウス型と安定型の吸引域効果が均衡する場合に、出現する極限確率過程を特定すること。
• 2種の異なるスケーリング則の下で、正規化された重ね合わせ過程の弱収束結果を確立すること：1つは分数次元 Browm 運動に収束し、もう1つは非ガウス型・非安定型の長記憶過程に収束する。
• ラプラス変換と累積モーメント関数の再帰的積分方程式を用いて、有限次元分布の収束と一様有界性（tightness）の厳密な証明を行うこと。
• 重い尾を持つ再生過程および最初の通過時モデルにおける極限過程の理解を統合し、特に長記憶性と自己相似性のフラクタル的揺らぎの文脈で統一的に解釈すること。

提案手法

• 時間と対数モーメント母関数の二重ラプラス変換を用いて、スケーリングされた過程の周辺分布を分析する。
• 有限次元累積モーメント関数の再帰的積分方程式を導出し、同時分布の極限を特徴付ける。
• カラマタのTauber定理を応用して、逆下位順序統合の分散の正規変動的尾挙動 $ \text{Var}(T_x) \sim c x^{2-\beta} L(x) $ を確立する。
• 正規変動関数のポッター評価を用いて分散の成長を制御し、連続関数空間における一様有界性（tightness）を確立する。
• モーメント基準と $ m \cdot \text{Var}(T_{a x}) / b_m^2 $ の漸近的解析を用いて、FBM および中間スケーリング則の両下で一様有界性を検証する。
• ガウス型と安定型吸引域効果の相互作用を、$ m \sim a^\beta $ の成長率のバランスによって分析し、中心極限定理と安定極限定理の共存を捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロセス数 $ m $ と時間スケーリング $ a $ が $ m \sim a^\beta $ に比例して増加する条件下で、$ m $ 個の独立な逆 Lévy 下位順序統合の正規化された和の弱極限は何か？
• RQ2 ガウス型揺らぎが強調されるスケーリング則（分数次元 Browm 運動に収束）と、ガウス型と安定型の吸引域効果が共存するスケーリング則の下で、極限過程はどのように異なるか？
• RQ3 重い尾を持つ Lévy 測度を有する多数の逆下位順序統合の重ね合わせから生じる極限過程の性質は何か？
• RQ4 中間スケーリング則の下で、正規化された過程の列が連続関数空間で一様有界性を示すことができるか？
• RQ5 正規化された和の有限次元分布はどのように収束するか？その極限を支配する再帰的構造は何か？

主な発見

• 中間スケーリング則 $ m \sim a^\beta $ の下で、正規化された和 $ \frac{1}{b_m} \sum_{i=1}^m (T_{a_m x}^{(i)} - \frac{a_m x}{\mu}) $ は、非ガウス型で非安定な長記憶過程に弱収束する。その周辺累積モーメント母関数は $ \Lambda_n(\bar{\theta}; \bar{x}) = \frac{\sigma_\beta^2}{2\mu^2} \sum_{i,j} \theta_i \theta_j \cdot \frac{1}{2} \left( x_i^{2-\beta} + x_j^{2-\beta} - |x_i - x_j|^{2-\beta} \right) $ である。
• 極限過程は自己相似性を示し、インクリメントの自己相似指数は $ 2 - \beta $ である。その有限次元分布は、過去のインクリメントにわたる積分を含む再帰的構造によって特徴づけられる。
• ガウス型スケーリング則（$ b_m \sim m^{1/2} $）の下では、正規化された和は分数次元 Browm 運動に弱収束し、ハースト指数 $ H = 1 - \frac{\beta}{2} $ を持つ。
• 逆下位順序統合 $ T_x $ の分散は指数 $ 2 - \beta $ の正規変動的関数であり、$ x \to \infty $ の下で $ \text{Var}(T_x) \sim \frac{\sigma_\beta^2}{\mu^3} L(x) x^{2-\beta} $ を満たす。ここで $ \sigma_\beta^2 = \frac{1}{\beta(1-\beta)} $ である。
• 両スケーリング則の下で、$ Y^{(m)}(x) = \frac{1}{b_m} \sum_{i=1}^m (T_{a_m x}^{(i)} - \frac{a_m x}{\mu}) $ の列が $ C[0,T] $ で一様有界性を示すことが、モーメント基準と $ \text{Var}(Y^{(m)}(x)) \leq K x^\gamma $（$ \gamma > 1 $）の評価を用いて確立された。
• 中間スケーリング則における極限過程は、分数次元 Browm 運動と安定 Lévy 動的過程の間のブリッジとして特定され、ガウス型と安定型の吸引域が共存する結果として生じる。関連文献では、これを分数ポアソン過程（fractional Poisson motion）として知られている。