[論文レビュー] Scaling limits for Hawkes processes and application to financial statistics

Emmanuel Bacry, Sylvain Delattre+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 19被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、観測期間 $T \to \infty$ の下で、多次元 Hawkes プロセスに対する大数の法則および関数中心極限定理を確立し、金融資産価格の微視的 Hawkes モデルの巨視的拡散極限を導出する。離散的に観測された増分の漸近的共変動を分析することで、Epps 効果およびリードラグダイナミクスをスケールにわたって厳密に特徴づけ、拡散過程への収束を示し、主要な経験的スタイリズドファクトを再現する。

ABSTRACT

We prove a law of large numbers and a functional central limit theorem for multivariate Hawkes processes observed over a time interval $[0,T]$ in the limit $T ightarrow \infty$. We further exhibit the asymptotic behaviour of the covariation of the increments of the components of a multivariate Hawkes process, when the observations are imposed by a discrete scheme with mesh $Δ$ over $[0,T]$ up to some further time shift $τ$. The behaviour of this functional depends on the relative size of $Δ$ and $τ$ with respect to $T$ and enables to give a full account of the second-order structure. As an application, we develop our results in the context of financial statistics. We introduced in a previous work a microscopic stochastic model for the variations of a multivariate financial asset, based on Hawkes processes and that is confined to live on a tick grid. We derive and characterise the exact macroscopic diffusion limit of this model and show in particular its ability to reproduce important empirical stylised fact such as the Epps effect and the lead-lag effect. Moreover, our approach enable to track these effects across scales in rigorous mathematical terms.

研究の動機と目的

• 大 $T$ の下での多次元 Hawkes プロセスのスケーリング極限を確立し、微視的イベントダイナミクスと巨視的拡散行動を橋渡しする。
• 異なるメッシュおよび時間シフトの下で、Hawkes プロセスの離散的増分間の共変動の漸近的挙動を特徴づける。
• 2n次元の Hawkes プロセスを用いた金融資産価格の微視的確率モデルに理論的結果を適用し、拡散極限への収束を示す。
• 導出された極限定理を用いて、Epps 効果およびリードラグ効果を時間スケールにわたって厳密に追跡する。

提案手法

• 観測区間 $[0,T]$ における多次元 Hawkes プロセスに対して、$T \to \infty$ の下で大数の法則および関数中心極限定理を証明する。
• メッシュ $\Delta$ および時間シフト $\tau$ を用いた離散的サンプリングスキームにおける増分の共変動を分析し、$\Delta$, $\tau$, $T$ の相対的スケーリングに応じたその漸近的挙動を導出する。
• 相互励起をモデル化するため、$d$ 次元の計数過程の条件付き強度表現 $\lambda_{i,t} = \mu_i + \sum_{j=1}^d \int_{(0,t)} \varphi_{ij}(t-s) dN_{j,s}$ を用いる。
• 極限定理を、対称的な強度を持つ 2n 次元 Hawkes プロセスを用いた金融モデルに適用し、資産リターン $S_i = N_{2i-1} - N_{2i}$ を定義する。
• 過程 $T^{-1/2}(S_{1,Tv}, S_{2,Tv})$ の巨視的拡散極限を $T \to \infty$ の下で導出し、$\mathbf{Id} - \mathbf{K}$, $\mathbf{\Sigma}$, およびカーネル $\boldsymbol{\psi}$ によって決定される共分散構造を持つガウス過程への収束を示す。
• カーネル測度 $\widetilde{F}$, $\widetilde{F} \star h$, および $\widetilde{F} \star g$ の畳み込みを用いて、漸近的共変動関数 $C_{11}(\Delta,\tau)$ および $C_{12}(\Delta,\tau)$ を計算し、畳み込み恒等式 $\gamma_\Delta \star \nu \star \check{\mu}(\tau)$ を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元 Hawkes プロセスの離散的増分の共変動は、$T \to \infty$ の下で、$\Delta$ と $\tau$ の相対的スケーリングに応じてどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 2n 次元の Hawkes プロセスの巨視的拡散極限は、ティックグリッド上の金融資産価格ダイナミクスをモデル化する際にどのように得られるか？
• RQ3 高頻度金融データにおける Epps 効果およびリードラグ効果は、微視的 Hawkes ベースモデルから時間スケールにわたって厳密に導出可能で、追跡可能か？
• RQ4 Hawkes プロセスの条件付き強度構造は、金融リターンにおける微視的構造ノイズおよび資産間依存性をどのように生じさせるか？

主な発見

• 過程 $T^{-1/2}(S_{1,Tv}, S_{2,Tv})$ は分布収束してガウス過程 $\bigl( Y_1 - Y_2, Y_3 - Y_4 \bigr)$ に収束する。ここで $Y_v = (\mathbf{Id} - \mathbf{K})^{-1} \mathbf{\Sigma}^{1/2} W_v$ である。
• リターン過程 $S_1$ とそのシフト版 $S_{1,\tau+\cdot}$ 間の漸近的共分散 $C_{11}(\Delta, \tau)$ は、$\int_{[0,\infty)^2} \gamma_\Delta(t-s-\tau) \cdot 2a_{11}(ds,dt)$ で与えられる。ここで $a_{11}(ds,dt) = \nu_1 \widetilde{F}(ds)\widetilde{F}(dt) + \nu_2 (\widetilde{F} \star h)(ds)(\widetilde{F} \star h)(dt)$ である。
• $S_1$ と $S_2$ 間のクロス共分散 $C_{12}(\Delta, \tau)$ は、$\int_{[0,\infty)^2} \gamma_\Delta(t-s-\tau) \cdot 2a_{31}(ds,dt)$ で与えられる。ここで $a_{31}(ds,dt) = \nu_2 \widetilde{F}(ds)(\widetilde{F} \star h)(dt) + \nu_1 (\widetilde{F} \star g)(ds)\widetilde{F}(dt)$ である。
• Epps 効果およびリードラグ効果は極限において自然に現れる：相関は微視的スケール（$\Delta \to 0$）では消滅するが、粗いスケールでは安定化し、経験的観察と整合的である。
• 極限過程は微視的構造ノイズを捉え、自己励起性および強度カーネルの対称性により、価格のジャンプの後に反転が生じやすくなる。